Контрольные вопросы

1. Многокритериальные решения при объективных моделях.

2. Постановка многокритериальной задачи линейного программирования.

3. Человеко-машинные процедуры.

4. Классификация ЧМП

5. Метод STEM.

6. Весовые коэффициенты важности критериев.

7. Какие встроенные функции Excel использовались в ходе выполнения лабораторной работы?

8. Поясните особенности математической модели многокритариальной транспортной задачи.

9. Назовите основные этапы ЧМП STEM.

10. Какая свертка использовалась при формировании глобального критерия?

Оформление отчета

Отчет по лабораторной работе должен содержать:

1. цель и задачи работы;

2. постановку задачи и исходные данные;

3. порядок решения поставленной задачи;

4. полученные результаты;

5. выводы по лабораторной работе.

Литература: [1, с. 75 – 90]; [2, с. 30 – 40]; [3, с. 290 – 325, 413 – 445]; [11]; [12]; [13].

Лабораторная работа № 3

Метод аналитической иерархии (МАИ)

Цель работы: решить задачу выбора методом аналитической иерархии в Microsoft Excel.

3.1. Постановка задачи

Постановка задачи, решаемой с помощью МАИ, заключается обычно в следующем.

Дано: общая цель (или цели) решения задачи; критерии оценки альтернатив; альтернативы.

Требуется: выбрать наилучшую альтернативу.

3.2. Теоретический материал для изучения

При появлении многокритериальных задач возникли дополнительные трудности их решения, связанные с получением информации от ЛПР. Естественной реакцией на это было стремление получить такую информацию сразу и быстро устранить многокритериальность. Этот подход был реализован путем объединения многих критериев в один с помощью так называемых весовых коэффициентов важности критериев. Глобальный критерий вычисляется по формуле

(2.7)

где c_i – частные критерии (i = 1, …, N); w_i – веса (коэффициенты важности) критериев:

; . (2.8)

Идея такого объединения состоит в том, что ЛПР назначает числа (часто по численной шкале 1 – 10), представляющие для него ценность рассматриваемого критерия. Считается, что ЛПР может назначить такие числа. Далее весовые коэффициенты нормируются на основе условия (2.8).

Существует лемма [3], утверждающая, что для линейной задачи любое эффективное, находящееся на множестве альтернатив решение может быть представлено как решение задачи линейного программирования с критерием (2.7). Следовательно, формально задача сводится к нахождению весов критериев.

Возникла идея, что эти веса можно получить от ЛПР оперативно. Если ЛПР затрудняется в начале процесса решения (до изучения области) сразу назвать эти веса, то можно построить ЧМП следующего содержания: ЛПР назначает первоначальные веса, смотрит на решение и корректирует веса до получения удовлетворительного результата.

Кроме того, для каждого из критериев вычисляется наилучшее значение при предположении, что он является единственным. Вектор таких (недостижимых одновременно) значений помогает ЛПР оценить пределы возможного.

Подход аналитической иерархии (Analytic Hierarchy Process - АНР) широко известен в настоящее время. В случае небольшого числа заданных альтернатив (задачи первой группы) представляется разумным направить усилия ЛПР на сравнение только заданных альтернатив. Именно такая идея лежит в основе метода МАИ.

Метод аналитической иерархии возник как эвристическое средство сравнения и выбора альтернатив. Подход МАИ имеет большее число практических предложений, чем другие многокритериальные методы.

Метод аналитической иерархии использует дерево критериев, в котором более общие критерии разделяются на критерии частного характера. Для каждой группы критериев определяются коэффициенты важности. Альтернативы сравниваются между собой по отдельным критериям с целью определения критериальной ценности каждой из них. Средством определения коэффициентов важности критериев либо критериальной ценности альтернатив является попарное сравнение. Результат сравнения оценивается по балльной шкале (обычно от 1 до 10). На основе таких сравнений вычисляются коэффициенты важности критериев, оценки альтернатив и находится общая оценка как взвешенная сумма оценок критериев.

Применение метода достаточно просто и наглядно, что и определяет его популярность. Метод не имеет строгого теоретического обоснования и относится к эвристическим.

В настоящее время одним из наиболее популярных методов принятия решений является именно метод аналитической иерархии. В различных периодических источниках опубликованы практические примеры использования этого метода в различных странах: США, Нидерландах, Финляндии, Индии и т.д.

• В методе аналитической иерархии прежде всего можно выделить общую схему структуризации задачи: цели – критерии – альтернативы.

• На каждом уровне иерархии осуществляется попарное сравнение элементов уровня при помощи вербальной шкалы относительной важности. Результаты сравнения переводятся в числа в соответствии с заданной количественной шкалой.

• Общая оценка важности альтернативы определяется путем суммирования произведений коэффициентов важности.

• Метод мультипликативной аналитической иерархии отличается способом перевода вербальных измерений в числа и способом агрегации оценок при определении общей важности альтернативы.

• Метод аналитической иерархии реализован в виде коммерческой системы поддержки принятия решений Expert Choice. Мультипликативный метод аналитической иерархии реализован в виде системы поддержки принятия решений REMBRANDT.

Постановка задачи, решаемой с помощью метода МАИ, заключается обычно в следующем.

Дано: общая цель (или цели) решения задачи; N критериев оценки альтернатив; m альтернатив.

Требуется: выбрать наилучшую альтернативу.

Подход МАИ состоит из совокупности этапов.

1. Первый этап заключается в структуризации задачи в виде иерархической структуры с несколькими уровнями: цели – критерии – альтернативы.

2. На втором этапе ЛПР выполняет попарные сравнения элементов каждого уровня. Результаты сравнений переводятся в числа при помощи специальной таблицы (см. далее).

Вычисляются коэффициенты важности для элементов каждого уровня. При этом проверяется согласованность суждений ЛПР.

Подсчитывается количественный индикатор качества каждой из альтернатив и определяется наилучшая альтернатива.

При попарных сравнениях в распоряжение ЛПР дается шкала словесных определений уровня важности, причем каждому определению ставится в соответствие число (табл. 2.3).

Таблица 2.3

Шкала относительной важности

Уровень важности	Количественное значение
Равная важность	1
Умеренное превосходство	3
Существенное или сильное превосходство	5
Значительное (большое) превосходство	7
Очень большое превосходство	9

При сравнении элементов, принадлежащих одному уровню иерархии, ЛПР выражает свое мнение, используя одно из приведенных в табл. 2.3 значений. В матрицу сравнения заносится соответствующее число.

На нижнем уровне иерархической схемы сравниваются заданные альтернативы по каждому критерию отдельно.

Все это позволяет рассчитать коэффициенты важности соответствующих элементов иерархического уровня. Для этого нужно вычислить собственные векторы матрицы, а затем пронормировать их.

3. На третьем этапе осуществляется определение наилучшей альтернативы.

Синтез полученных коэффициентов важности производится по формуле

, (2.9)

где S_j – показатель качества j-й альтернативы; w_j – вес j-го критерия; V_ij – важность j-й альтернативы по i-му критерию.

Достоинством метода МАИ, привлекающим внимание многих пользователей, является направленность на сравнение реальных альтернатив.

Отметим, что метод МАИ может применяться и в тех случаях, когда эксперты (или ЛПР) не могут дать абсолютные оценки альтернатив по критериям, а пользуются более слабыми сравнительными измерениями.

Среди недостатков МАИ наиболее существенными являются два. Прежде всего, введение новой, недоминирующей альтернативы может в общем случае привести к изменению предпочтений между двумя ранее заданными альтернативами. Весьма существенной проблемой является, на наш взгляд, необоснованный переход к числам при проведении измерений, оторванность метода объединения оценок от предпочтений ЛПР.

Данный метод можно сделать более гибким и учитывающим предпочтения ЛПР. Например, можно, следуя общей схеме метода, предложить множество способов оценки весовых коэффициентов, решить задачу, используя эти способы, а затем предложить ЛПР рассмотреть множество решений с описанием способов решений и выбрать наиболее предпочтительный для ЛПР.