3. Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Из общей теории систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных

следует, что общее решение линейной однородной системы

с матричной записью (3.3)

есть линейная комбинация с произвольными постоянными коэффициентами из решений, составляющих фундаментальную систему решений (3.3)

(3.4)

фундаментальная система решений (3.3) есть совокупность n – линейно-независимых решений ; n – мерных вектор-функций вида

(3.5)

Пусть коэффициенты матрицы , - постоянные числа. Будем искать частное решение (3.3) в виде

. (3.6)

Необходимо найти постоянные так, чтобы функции удовлетворяли системе (3.3) .

Подставляя (3.6) в (3.3), получим однородную систему уравнений

(3.7)

Эта система всегда имеет тривиальное решение

.

Будем искать решения отличные от нулевого. При этом определитель системы (3.7) должен быть равен нулю, то есть

. (3.8)

Алгебраическое уравнение (3.8) называется характеристическим уравнением для системы типа (3.3) с постоянными коэффициентами .

Среди корней характеристического многочлена с действительными коэффициентами в правой части (3.8) могут быть:

1) простые действительные корни ;

2) кратные действительные корни кратности , при этом сумма всех кратностей, включая простые корни где - число различных корней;

3) среди корней есть комплексно-сопряженные пары

простые или кратные.

Соответственно этим случаем из (3.5) могут иметь следующий вид:

1. Все - действительные и различные.

Тогда фундаментальная система решений может быть записана следующим образом:

Здесь находятся для каждого из (3.7) при соответствующем значении При этом общее решение (3.4) для данного случая имеет вид

;

;

.

Пример 1. Найти общее решение однородной линейной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Решение. В матричной форме эту систему можно записать следующим образом:

где .

Запишем характеристическое уравнение (3.8) для этой системы

.

Корни этого уравнения все действительные и различные, следовательно

.

Найдем из (3.7) , соответствующие корню

Так как определитель этой системы , то одно из неизвестных можно взять в качестве произвольного параметра, поскольку

и ранг этой системы равен двум. Пусть , тогда и . Поэтому

Для определения получим

.

Так как положим , при этом поэтому и следовательно .

.

Аналогично для нахождения будет

.

Пусть тогда поэтому

.

Общее решение системы будет иметь вид

2. Рассмотрим случай, когда среди действительных корней есть кратные.

Пусть корень имеет кратность , тогда этому корню в фундаментальной системе решений будут соответствовать строк:

………………………………………………………………..

Пример 2. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

или .

Решение. Характеристическое уравнение этой системы будет

то есть

или .

Запишем фундаментальную систему решений

; .

Подставляя в исходную систему уравнений и приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях , получим однородную систему уравнений для определения с рангом

Следовательно, из искомых постоянных две произвольны, например, , поэтому из этой системы для остальных будет Отсюда общее решение исходной системы будет

3. Если среди корней характеристического уравнения (3.7) есть комплексное спряженные пары , то этим корням будут соответствовать частные решения

причем определяются из систем (3.7). Можно показать, что действительные и мнимые части также являются решениями системы (3.2). Таким образом, можно записать два частных решения:

,

где - действительные коэффициенты, связанные с

Следовательно, можно составить фундаментальную систему решений только из действительных решений.

Пример 3. Дана система дифференциальных уравнений

Найдем ее общее решение.

Решение. Характеристическое уравнение для этой системы имеет вид

или

корни этого уравнения

Подставляя эти корни в (3.7), получим

Соответствующее частное решение будет

.

Для , получим соответственно

Поскольку из четырех получившихся функций в общее решение для должны войти лишь два линейно независимых решения с произвольными постоянными преобразуем получившиеся решения следующим образом

для будет

Поэтому составляя общее решение из действительных и мнимых частей этих решений для найдем

Известно, что линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка

(3.9)

эквивалентно линейной, однородной системе

(3.10)

Будем считать все

Характеристическая матрица для (3.10) в этом случае будет иметь вид

или

.

Если же вычеркнуть из матрицы первый столбец и последнюю строку, получим определитель равный +I или –I. Следовательно, характеристический многочлен, если имеет корень кратности , то матрица имеет элементарный делитель . Поэтому корню будут соответствовать линейно независимых решений вида

(3.11)

Таким образом, методы решения систем типа (3.3) могут быть использованы для решения линейных дифференциальных уравнений n-го порядка, разрешенных относительно производных.

Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения

Обозначим

Тогда

(3.12)

Характеристическое уравнение системы (3.12) имеет вид

т.е

или .

Поскольку корень имеет кратность , то, учитывая (3.111), получим общее решение (3.12), а следовательно, и исходного уравнения третьего порядка в виде

Для нахождения общего решения нормальных систем дифференциальных уравнений вида

(3.13)

применяется также метод последовательного исключения неизвестных функций, то есть сведение системы (3.13) к уравнению вида (3.9). Для этого, дифференцируя первое уравнение из (3.13) по , получим

Используя тот факт, что найдем

(3.14)

Определим из первого уравнения системы (3.13)

Подставим в (3.14) и, таким образом, исключим эту неизвестную функцию из (3.14). Продолжая эту процедуру, можно получить уравнение n-го порядка для одной неизвестной функции.

Пример 5. Найти общее решение

Решение. .

Характеристическое уравнение имеет вид

или

тогда общее решение можно записать