1. Операционное исчисление
1.1. Прямое преобразование Лапласа
Преобразованием
Лапласа функции действительного
переменного
называется функция комплексного
переменного
,
определяемая формулой
. (1.1)
Функция называется оригиналом и должна удовлетворять условиям:
1)
—
кусочно-непрерывная однозначная функция
;
2)
;
3)
.
Эти
условия обеспечивают абсолютную
сходимость несобственного интеграла
(1.1) в полуплоскости
.
Функцию
называют изображением для
,
она является аналитической в области
.
Соответствие между оригиналом
и его изображением
обозначают символически
или
.
Для нахождения изображений наряду с
формулой (1.1) могут быть использованы
следующие свойства:
1.
Линейность. Если 
,
,
то
,
где
—
любые комплексные постоянные.
2.
Теорема подобия. Если
,
то
.
3.
Смещение изображения. Если
,
то
,
где
—любое
комплексное число.
4.
Запаздывание оригинала. Если
,
то
для любого
.
Здесь
—
единичная функция Хэвисайда, которая
равна 1 при
и нулю при 
.
5.
Дифференцирование оригинала. Если
функции
являются оригиналами и
,
то
,
……………………….. (1.2)
6. Дифференцирование изображения. Если , то
,
……………….…….
.
7. Интегрирование оригинала. Если , то
.
8.
Интегрирование изображения. Если
и
является оригиналом, то
.
9.
Изображение периодической функции.
Если
,
где
и
,
а
—
периодическая функция
,
то
.
(1.3)
10.
Умножение изображений. Если
,
, а
и
непрерывны на промежутке
,
то
.
(1.4)
11.
Формула Дюамеля. Если
,
,
то
Таблица основных операционных соотношений
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример
1. Найти
изображения функций
и
,
если
.
Решение. Преобразуем функцию к виду:
Используя свойства 1 и 3 и таблицу изображений, получаем
По формуле (1.2) имеем:
.
Пример 2. Найти изображение периодической функции (рис. 1)
Рис. 1. Рис. 2.
Решение.
Очевидно
и Т=2, тогда (рис. 2)
Применяя теорему запаздывания, получим:
По формуле 1.3 имеем
.
1.2. Обратное преобразование Лапласа
Рассмотрим
теперь обратную задачу: по известному
изображению
будем находить оригинал
.
Сделать это по формуле обращения
крайне
затруднительно, поэтому при отыскании
оригиналов следует использовать таблицу
изображений, свойства преобразования
Лапласа и теорему разложения: если
—
изолированные особые точки
дробно-рационального изображения
,
то оригинал находится по формуле
.
(1.5)
При этом в полюсе кратности “n” вычеты вычисляются по формуле
(1.6)
а в простом полюсе
.
(1.7)
В этом случае, если все особые точки являются простыми полюсами, то (1.5) принимает вид [2]
.
(1.8)
Пример 3. Найти оригинал для изображения
.
Решение.
Приравняв нулю знаменатель найдем три
изолированные особые точки:
.
Все они являются простыми полюсами
поэтому воспользуемся формулой (1.8),
предварительно вычислив . Тогда
.
Пример 4. Найти оригинал изображения
.
Решение. Применяя теорему умножения получим:
.