Пример 1. Найти частное решение уравнения

,

удовлетворяющее начальным условиям

Решение. Полагая , преобразуем уравнение к виду

.

Это линейное уравнение первого порядка. Положим p=uv, тогда . Подставим в уравнение ; . Определим v так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль. Тогда , разделяя переменные, получим , интегрируя уравнение, найдем или .

Для определения u имеем уравнение

, .

Умножив u на v, получим

Интегрируя еще раз, найдем общее решение исходного уравнения

Используя начальные условия , найдем

Получили систему линейных уравнений, из которой найдем постоянные

С₁ = -3 и С₂ =1/3_. Искомое частное решение будет иметь вид

2. Рассмотрим уравнение вида , которое не содержит явным образом независимую переменную х .

Снова положим , но теперь будем считать р функцией от у. Тогда Подставляя эти выражения производных в исходное уравнение получим уравнение первого порядка относительно функции р

.

Интегрируя его, найдем р как функцию от у и произвольной постоянной С₁: р=р (у, С₁). Следовательно, р (у, С₁)

Разделяя переменные, находим

Интегрируя это уравнение, получим искомое общее решение дифференциального уравнения.

Пример 2. Найти общее решение уравнения .

Решение. Положим , считая р функцией от у. Тогда . Разделим переменные . Интегрируя это уравнение, находим или . Но и для определения у получаем уравнение или , откуда . Для вычисления последнего интеграла сделаем подстановку Тогда Продифференцируем это равенство

;

.

Следовательно, . Окончательно получим

.

Задачи для самостоятельного решения

1. .

Ответ: ; ;

2.

Ответ:

3. Ответ:

4. . Ответ:

5. .

Ответ: ;

6. .

Ответ: ; ;

7. .

Ответ:

8. . Ответ:

Занятие 6. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Неоднородные линейные уравнения второго порядка. Метод вариации произвольных постоянных

Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка

, (1)

где p и q – постоянные действительные числа. Чтобы найти общий интеграл этого уравнения, достаточно найти два линейно независимых частных решения. Будем искать частные решения в виде , где k = const. Тогда

Подставляя полученные выражения производных в уравнение (1) находим Так как то значит

(2)

Следовательно, если k будет удовлетворять уравнению (2), то будет решением уравнения (1). Уравнение (2) называется характеристическим уравнением. Характеристическое уравнение есть квадратное уравнение, имеющее два корня; обозначим их через k₁ и k₂. При этом возможны следующие случаи:

1. k₁ и k₂ – действительные и притом не равные между собой числа;

2. k₁ и k₂ – действительные равные числа;

3. k₁ и k₂ – комплексные числа.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

1.Корни характеристического уравнения действительны и различны:

k₁  k₂. В этом случае общее решение имеет вид .

Пример 1 . Найти общее решение уравнения

.

Решение. Составим характеристическое уравнение . Находим корни характеристического уравнения:

Общее решение имеет вид .

2.Корни характеристического уравнения действительны и равные. В этом случае k₁=k_2. Общим решением будет функция .

Пример 2. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Составим характеристическое уравнение

.

Находим его корни:

Общее решение имеет вид .

3. Корни характеристического уравнения комплексные.

Так как комплексные корни входят попарно сопряженными, то обозначим где

Общее решение уравнения имеет вид .

Здесь С₁ и С₂ - произвольные постоянные .

Пример 3. Найти общее решение уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям

Решение. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

Общее решение имеет вид .

Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям. Определим С₁ и С₂. На основании первого условия находим: 0= откуда С₁=0. Найдем производную . Из второго условия получим 1=2 С₂, т.е. С₂=1/2. Запишем искомое частное решение .

Рассмотрим линейное однородное уравнение n-го порядка

. (3)

Если коэффициенты уравнения (3) постоянные, то общее решение находится также как и в случае уравнения второго порядка. Составляется характеристическое уравнение, находятся его корни. По характеру корней выписываются частные линейно независимые решения : и строится общее решение данного линейного уравнения

,

где - произвольные постоянные.

Пример 4. Найти общее решение уравнения .

Решение. Составляем характеристическое уравнение

. .

Общее решение будет иметь вид

.

Задачи для самостоятельного решения

1. . Ответ:.

2. . Ответ: .

3. . Ответ: .

4. . Ответ: .

5. . Ответ: .

6. . Ответ: .

7. . Ответ: .

8. .

Ответ: .

9. .

Ответ: .

10. .

Ответ: .

Линейное неоднородное уравнение n-го порядка имеет вид

, (4)

где непрерывные на (a, b) функции..

Общее решение уравнения (4) находится по формуле

(5)

Здесь - общее решение линейного однородного уравнения

, (6)

соответствующего уравнению (4), а - какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения (6).

В действительности непосредственное нахождение частного решения неоднородного уравнения, кроме случая уравнения с постоянными коэффициентами, представляет большие трудности. Однако, если известна фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения (6), то общее решение неоднородного уравнения (4) может быть всегда найдено с помощью метода вариации произвольных постоянных (метода Лагранжа).

Этот метод состоит в том, что решение уравнения (4) ищется в виде

, (7)

где - некоторые непрерывно дифференцируемые функции, подлежащие определению. Эти функции находятся из следующей системы:

Относительно 'эта система является системой n линейных неоднородных уравнений, определитель которой отличен от нуля. Поэтому система имеет единственное решение.

Пример 5. Решить уравнение .

Решение. Найдем общее решение однородного уравнения . Для этого найдем корни характеристического уравнения , .

Общее решение однородного уравнения будет . Следовательно, фундаментальная система решений: . Общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде . Составим систему

Решим ее относительно и :

или .

Интегрируя обе части полученных уравнений, имеем:

;

.

Таким образом, общее решение данного неоднородного уравнения имеет вид

.

Задачи для самостоятельного решения

1. .

Ответ: .

2. .

Ответ: .

3. .

Ответ: .

4. .

Ответ: .

5.

Ответ: .

6 .

Ответ: .

7. .

Ответ: .