Теоретическая часть Случайная величина. Распределения случайных величин

Случайная величина — это величина, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, заранее неизвестное и зависящее от случайных причин, которые наперед не могут быть учтены.

Например, число родившихся девочек из двухсот новорожденных есть случайная величина, имеющая следующие возможные значения: 0, 1, 2, ..., 200.Случайные величины обозначают прописными буквами X, У, Z, а их возможные значения — строчными х, у, z. К примеру, если случайная величина X обладает четырьмя возможными значениям, то они будут обозначены так: xl, x2, х3, х4.

Дискретные, непрерывные случайные величины

Случайная величина, принимающая отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями, называется дискретной, прерывной случайной величиной. Следует знать, что число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным. Непрерывная случайная величина — это та величина, которая может принимать все значения из определенного конечного или бесконечного промежутка. Ясно, что число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно много.

Распределение «хи квадрат»

Пусть Xi (i = 1, 2, ..., n) являются нормальными независимыми случайными величинами.

При этом математическое ожидание каждой из этих величин равняется нулю, а среднее квадратичное отклонение равно единице. Тогда сумма квадратов этих величин равна:

Она распределена по закону χ2 («хи квадрат»), имея k = n степени свободы. В том случае, если эти величины связаны одни линейным соотношением, например

число степеней свободы k = n—1.

Плотность такого распределения можно записать следующим образом:

Где

представляет собой гамма функцию, а в конкретном случае

Г(n+1)=!n.

Таким образом, распределение «хи квадрат» определяется одним параметром, которое есть число степеней свободы k. Следует отметить, что с увеличением числа степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному.

Распределение F Фишера - Снедекора

Пусть U и V есть независимые случайные величины, которые распределены по закону χ2 со степенями свободы k1 и k2. В этом случае величина

обладает распределением, которое называется распределением F Фишера — Снедекора со степенями свободы k1 и k2. Иногда его обозначают через V2.

Плотность этого распределения можно записать следующим образом

где

Распределение Стьюдента

Если Z есть нормальная случайная величина, причем M(Z)=0, σ(z)=1, а V — независимая от Z величина, распределенная по закону χ2 с k степенями свободы, то величина

имеет распределение, которое называют t-распределением (или распределением Стьюдента) с k степенями свободы. Таким образом, отношение нормированной нормальной величины к квадратному корню из независимой случайной величины, распределенной по закону «хи квадрат» с k степенями свободы, деленной на k, распределено по закону Стьюдента с k степенями свободы. При этом, чем больше число степеней свободы, тем распределение Стьюдента быстрее приближается к нормальному.

Биноминальное распределение

Допустим, происходит n независимых испытаний. Событие А в каждом из них может появиться или не появиться. Вероятность наступления события во всех испытаниях неизменна и равна р. Тогда вероятность того, что оно не появится, будет q = 1 - p. Пусть дискретная случайная величина X — это число появлений события А в этих испытаниях. Для нахождения закона распределения величины X нужно определить возможные значения Х, а также их вероятности. Ясно, что в n испытаниях событие А может либо не появиться, либо появиться 1 раз, либо 2 раза, ..., либо n раз. Следовательно, возможные значения X будут следующими: х1 = 0, х2 = 1, х3 = 2, ..., хn + 1 = n. Для нахождения вероятности этих возможных значений можно использовать формулу Бернулли:

где k=0,1,2,...n

Даная формула и есть аналитическое выражение искомого закона распределения. Биномиальное распределение вероятностей - это распределение, которое определяется формулой Бернулли. Этот закон получил название биномиального потому, что правая часть равенства может быть рассмотрена как общий член разложения бинома Ньютона:

Значит, первый член разложения обусловливает вероятность наступления рассматриваемого события n раз в n независимых испытаниях. Второй член обусловливает вероятность наступления события n—1 раз. Соответственно последний член qⁿ определяет вероятность того, что событие не появится ни разу. Биномиальный закон также можно записать в виде таблицы:

Вероятностный калькулятор в системе Statistica

Чтобы приступить к использованию вероятностного калькулятора нужно запустить модуль Basic Statistics/Table (Основные статистики/таблицы) из Переключателя модулей, выбрать строку Probability Calculator (Вероятностный калькулятор), откроется форма (рис. 1).

Рис. 1. Экранная форма вероятностного калькулятора

На рисунке обозначены цифрами следующие элементы:

1 - вид распределения;

2 - среднее отклонение;

3 - стандартное отклонение;

4 - обратная функция распределения;

5 - двусторонний вид;

6 - квантиль;

7 - уровень вероятности;

8 - вычислить.