3. Порядок выполнения работы

3.1. Составление математической модели объекта

В зависимости от варианта работы (см. п. 5) исходное описание объекта может быть задано

в виде системы дифференциальных уравнений;

с помощью передаточных матриц W_ou(p), W_of(p);

в виде структурной схемы;

в пространстве состояний объекта.

В первом случае следует от дифференциальных уравнений вида (1)

перейти к изображениям по Лапласу (2);

8

переписать их в явном виде (3) относительно регулируемых величин;

выписать передаточные матрицы W_ou(p) и W_of(p) объекта по задающему и возмущающему воздействиям (см. (4));

составить структурную схему объекта (см. рис.2).

Во втором случае на основании заданных передаточных матриц W_ou(p) и W_of(p) объекта

составить структурную схему объекта;

сформировать систему уравнений вида (3), а затем (2), описывающих объект в изображениях по Лапласу.

В третьем случае по структурной схеме объекта

выписать передаточные матрицы W_ou(p) и W_of(p) объекта;

составить систему уравнений вида (3), а затем (2), описывающих объект в изображениях по Лапласу.

И, наконец, в четвертом случае от заданного описания объекта в пространстве состояний

перейти к изображениям по Лапласу, заменив на px(p);

выразить y₁(p) и y₂(p) в явном виде (3);

составить структурную схему объекта;

выписать передаточные матрицы W_ou(p) и W_of(p) объекта;

уравнение вида (3) привести к общему знаменателю и переписать в виде (2).

Например, от модели объекта в оригиналах

9

переходим к модели в изображениях по Лапласу:

получаем в явном виде координаты х₁ и х₂:

подставляем х₁ и х₂ в y₁(p) и y₂(p) и приходим к модели объекта в форме (3):

3.2. На основании структурной схемы объекта составляется структура простейшей замкнутой САР с единичными отрицательными обратными связями (см. рис. 3).

3.3. В описание объекта в форме (2) подставляются уравнения замыкания (5) и получают описание замкнутой САР в изображениях по Лапласу в форме (7) или в форме (10), от которых скалярными или матричными преобразованиями придти к уравнениям вида (8) с передаточными матрицами системы W_g(p) и W_f(p) по заданию и по возмущению.

Выписать характеристическое уравнение САР и найти его корни.

3.4. Опираясь на описание САР в изображениях по Лапласу в форме (7), перейти к оригиналам и составить систему дифференциальных уравнений для замкнутой САР в виде (6).

10

3.5. Составить матричное уравнение САР в форме (10) и, используя типовые соотношения (13), получить матрицы K, N, F, L, H и S пространства состояний.

Определить характеристическое уравнение в виде

|A| =0 и |pE –K| =0.

Переписать уравнение модели САР в пространстве состояний в скалярной форме (14).

4. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ НА ПОЛУЧЕННОЙ МОДЕЛИ

4.1. Используя описание замкнутой САР в пространстве состояний (см. п. 3.5, уравнения вида (14)), составить программу численного решения этих уравнений на любом языке программирования (лаб. раб. №№1 и 2).

4.2. Получить реакцию системы y₁(t) и y₂(t) на задающие воздействия g₁(t)=1₀(t), g₂(t)=0. Убедиться в соответствии полученных результатов математическому описанию САР (анализ такого соответствия удобнее всего проводить по передаточным функциям системы W_g(p) и W_f((p)).

Н апример, для описанной выше САР парового котла с параметрами k₁ = 1250 c; k₂ = 1,45; k₃ = 90 c; k₄ = 20 c; k₅ = 0,7; k₆ = 1,45 рассматриваемая реакция системы имеет вид, представленный на рис.4.

Анализ

и

11

показывает, что коэффициент передачи W₁₁(p) в установившемся режиме

т.е. по окончании переходного процесса

коэффициент передачи W₂₁(p) в установившемся режиме равен нулю, из чего следует, что по окончании переходного процесса y₂(t) вернется в первоначальное нулевое положение;

порядок числителя и знаменателя W₂₁(p) совпадают, значит в момент подачи g₁(t)=1₀(t), y₂(0⁺)=k₁k₄/k₁k₃=0,22.

Результат анализа совпадает с видом y₁(t) и y₂(t) на рис.4.

4 .3. Получить реакцию системы y₁(t) и y₂(t) на задающие воздействия g₁(t)=0; g₂(t)=1₀(t). Убедиться в соответствии полученных результатов математическому описанию САР.

Для парового котла рассматриваемые реакции представлены на рис.5 и также соответствуют передаточным функциям

12

Следует обратить внимание, что отсутствие связи g₂(t) с y₁(t) подтверждается структурой САР на рис.3.

4.4. Построить процессы y₁(t) и y₂(t) отработки системой возмущающего воздействия f(t)=1₀(t) и сопоставить полученные результаты с видом W_f(p):

Для парового котла указанные переходные процессы изображены на рис.6. Установившееся значение y₁(t) и y₂(t) соответствуют расчетным коэффициентам передачи

В ажно отметить, что в самом объекте регулирования (паровом котле) согласно принятой математической модели влияние возмущения f на y₂ отсутствует (см. структурную схему объекта на рис.2). Однако в результате замыкания объекта обратными связями (т.е. в замкнутой САР), такая взаимосвязь появляется (см. структурную схему САР на рис.3; цепочка f_y₁u₁₂₁y₂). Указанное явление является характерным для систем управления многомерными объектами. Впоследствии, в курсе теории управления, будет рассмотрена задача подавления таких нежелательных взаимосвязей, т.е. задача обеспечения автономности каналов многомерной САР.