Лабораторная работа № 2 выравнивание статистических рядов

1. На практике часто приходится решать вопрос, как при ограничен­ном объеме выборки подобрать для данного статистического (вариаци­онного) ряда теоретическую кривую функции плотности распределения, в некотором смысле наилучшим образом описывающую статистику и вы­ражающую лишь существенные черты статистического материала, а не случайности, связанные с недостаточным объемом экспериментальных данных.

2. Вид теоретической кривой определяется заранее из соображений, связанных с существом задачи, а также может быть оценен по постро­енной гистограмме.

3. При выборе аналитической функции кривой распределения следу­ет иметь в виду, что она должна обладать свойствами плотности рас­пределения.

4. Для решения этой задачи используется метод моментов, согласно которому параметры теоретической функции плотности распределения f(x) выбираются таким образом, чтобы несколько важнейших числовых характеристик (моментов) теоретического распределения были равны соответствующим статистическим характеристикам. Например, если f(x) зависит от двух параметров, то эти параметры выбираются так, чтобы

m_x = ; D_x = (1)

Замечание 1. При выравнивании статистических рядов не­рационально пользоваться моментами выше четвертого порядка, так как точность вычислений резко падает.

5. Для проверки согласованности теоретического и статистического распределений статистический ряд оформляется в виде таблицы.

Таблица 1
X	x1; x2	x2; x3	…	xi; xi+1	…	xk; xk+1
mi	M1	m2	…	mi	…	mk
			…		…
			…		…

- теоретические вероятности попадания случайной величины в i ^й интервал [x_i; x_i+1], то есть

= (2)

Для наглядности теоретическое распределение можно оформить в виде графика, совмещая кривую плотности вероятностей и гистограм­му. Для этого надо вычислить значения теоретической кривой в граничных точках интервалов разбиения.

6. В качестве критерия проверки вопроса о согласованности те­оретического и статистического распределений обычно используется критерий ² Пирсона ( хи - квадрат).

² = или (3)

² = (4)

Критерий ² имеет  = k – l –1 степеней свободы, где l - количество оцениваемых параметров в законе распределения. При нормальном законе распределения оценивается дисперсия и математическое ожидание, то есть l = 2.

7. По таблице 2 приложения находится граница критической области для заданного уровня значимости критерия q и числа степеней свободы . Если

²  (5)

то можно признать расхождения между теоретическим и статистическим распределениями несущественными, то есть выборочный материал не противоречит гипотезе о том, что случайная величина Х имеет плотность распределения f(x). В противном случае эта гипотеза не подтверждается.

8. Порядок выполнения работы:

8.1. Оформить статистический (вариационный) ряд в виде таблицы. Построить гистограмму. Выбрать вид теоретической кривой f(x).

8.2. Использовав метод моментов, подобрать параметры теоретического распределения. Записать теоретическую кривую в виде функции плотности вероятности.

8.3. Изобразить кривую плотности вероятности в виде графика, вычислить . Оформить выборку в виде таблицы.

8.4. Вычислить значения ². Определить число степеней свободы  и уровень доверительной вероятности q.

8.5. По таблице 2 приложения по значениям q и  определить .

8.6. Проверить неравенство (5).

8.7. Сделать выводы. Оформить работу.

9. Пример. С целью исследования закона распределения отклонения от номи­нального размера диаметра роликов из текущей продукции автомата, обрабатывающего ролики, взята выборка объемом п= 20.

Выборка оформлена в виде простого статистического ряда.

Необходимо подобрать теоретическую функцию распределения, выровнять ряд с доверительной вероятностью  = 0,9.

1	2	3
0,29	1,19	0

9.1. Оформим ряд в виде статистического (вариационного) ряда. Для этих целей выберем к = 6.

 = = = 0,6

Оформим результаты в виде таблицы

X	-1,8; -1,2	-1,2; -0,6	-0,6; 0	0; 0,6	0,6; 1,2	1,2; 1,8
mi	2	3	1,5	7,5	4	2
	0,1	0,16	0,075	0,375	0,2	0,1

Построим гистограмму (рис. 2)

Рис.2

Учитывая вид гистограммы, выберем в качестве теоретического закона нормальный закон распределения, тогда функция плотности вероятности запишется в виде

f(x) = (6)

9.2. Используем метод моментов, для этих целей вычислим

= = -1,50,1 - 0,90,15 – 0,30,075 + 0,30,375 + 0,90,2 + 1,50,1  0,055.

= = (1,5550,1 + 0,9550,15 + 0,3550,075 + 0,2450,375 + 0,8420,2 + 1,4450,1)  0,79

Тогда

=  0,89.

Приравнивая = m_x и = _x получим теоретическую кривую в виде

f(x) =

Построим график этой кривой для этого вычислим значения f(x) в граничных точках разбиения на интервалы.

Результаты вычислений сведем в таблицу.

X	-1,8	-1,2	-0,6	0	0,6	1,2	1,8
 f(x)	0,052	0,166	0,34	0,447	0,372	0,195	0,066

Для упрощения вычислений можно использовать статистическую таблицу.

Изобразим график на рис. 2. Получим плавную кривую плотности вероятности нормального распределения.

Вычислим вероятности попадания случайной величину в i - й интервал. Для нормального закона

= (7)

Функцию (Лапласа) находим по статистической таблице. Ре­зультаты сведем в таблицу вида

X	-1,8; -1,2	-1,2; -0,6	-0,6; 0	0; 0,6	0,6; 1,2	1,2; 1,8
mi	2	3	1,5	7,5	4	2
	0,1	0,15	0,075	0,375	0,2	0,1
	0,061	0,15	0,2464	0,2464	0,15	0,061

9.4. По формуле (3) вычислим значение ²

² = 20 = 5,06.

Так как оценивались два параметра m_x и D_x, то l = 2, тогда  = 6 – 2 – 1 = 3.

9.5. Вычислим уровень значимости по заданной доверительной вероятности

q = 100(1 -  ) = 10%

9.6. По таблице 2 найдем .

9.7. Проверим неравенство (6); = 6,25,

² = 5,06 < 6,25 =

Неравенство выполняется.

9.8. Можно считать, что случайная величина Х , определяемая первоначальной выборкой, не противоречит гипотезе о нормальности ее распределения с плотностью вероятности

f(x) =