3. Полупроводниковые переходы

3.1. Выразить концентрации равновесных носителей тока n₀ и p₀ в однородном невырожденном полупроводнике через энергию уровня Ферми, отсчитывая последнюю от дна зоны проводимости или потолка валентной зоны. Определить квазиуровни Ферми при инжекции неравновесных носителей.

Решение. На рисунке показаны энергетические уровни полу­проводника n-типа.

Энергетические уровни в невырожденном

полу­проводнике n-типа.

Стрелкой обозначено положительное направление отсчета энергии

В невырожденном полупроводнике уровень Ферми лежит в запрещенной зоне на расстоянии, по крайней мере равном 2kT от дна зоны проводимости или потолка валент­ной зоны, так что и . Концентрации носителей тока являются функциями и положения уровня Ферми по отношению к краям зон. Для невырожденного полупроводника находим

(3.1)

(3.2)

что дает в результате закон, справедливый для невырожденного полупроводника:

(3.3)

где − ширина запрещенной зоны, a N_c (для зоны про­водимости) и N_v (для валентной зоны) определены соотношениями

(3.4)

m_e и m_h − эффективные массы элект­ронов и дырок.

Численно имеем

см^-3.

Потенциал ψ − безразмерная величи­на, измеряемая в единицах kT по от­ношению к энергии «собственного уровня» ξ_i, так как в собственном по­лупроводнике, по определению, ψ = 0.

Легко показать, что ξ_i лежит при­близительно в середине запрещенной зоны:

(3.5)

При инжекции избыточных носителей действительные концент­рации носителей возрастают: п>п₀ и р>р₀. Квазиуровни Ферми для электронов и дырок, ξ_Fe и ξ_Fh, можно найти из выражений, аналогичных (3.1) и (3.2):

(3.6)

(3.7)

Можно видеть, что при инжекции квазиуровни Ферми лежат ближе к соответствующим краям зон и смещены по отношению к равновесному уровню Ферми, и, кроме того, для неоснов­ных носителей заряда квазиуровень Ферми смещается сильнее, чем для основных носителей.

3.2. Инжекция избыточных неосновных носителей заряда через р − n-переход в примесный полупроводник обычно не нарушает нейтральности материала.

Обсудить количественные стороны этого утверждения.

Решение. Рассмотрим кристалл р-типа, в котором равновесная концентрация дырок равна р_р; имеются также инжектированные избыточные неосновные носители − электроны с концентрацией Δn. Пусть избыточная концентрация дырок равна Δр и жела­тельно, чтобы она была меньше, чем Δn. Результирующая плот­ность объемного заряда равна е(Δр − Δn), и, следовательно, уравнение Пуассона будет иметь вид

(3.8)

Далее предполагаем, что существует область шириной 10 мкм, в которой равновесное состояние нарушено, причем в этой обла­сти Δn − Δр = 10¹¹ см^-3. (Заметим, что общая собственная кон­центрация в германии при комнатной температуре превышает 10¹³ см^-3.) Поле Е, возникающее в области шириной l, следова­тельно, равно (мы приняли ε = 10)

В/см.

Этот результат наводит на мысль о том, что в небольших объемах относительно большое поле может быть создано за счет даже относительно малого суммарного объемного заряда. Соответ­ственно большие поля распространялись бы на большие рас­стояния.

Эффекты, обусловленные такими полями, подавляются основ­ными носителями, которые стремятся нейтрализовать заряд избы­точных неосновных носителей, и это подавление является лишь делом времени, требуемым для достижения нужной степени ней­тральности.

Уменьшение объемного заряда ρ со временем легче всего оце­нить, пользуясь уравнением Пуассона

div E = ρ/ε₀ε (3.9)

и уравнением непрерывности

-∂ρ/∂t = div I = σ div E, (3.10)

где σ − электропроводность, которую, как мы предполагали, в данном случае можно считать постоянной. Получаем следующее уравнение:

(3.11)

где τ_d − так называемое время диэлектрической релаксации. Уравнение (3.11) означает, что любое локальное нарушение объемного заряда исчезает с постоянной времени τ_d:

ρ = ρ₀exp(-t/τ_d). (3.12)

Значение τ_d легко оценить, зная подвижность основных носите­лей заряда μ и концентрацию основных носителей р_р (или п_n):

(3.13)

Предполагая, что ε = 10, μ = 10³ см²∙В^-1∙с^-1 (что типично для Si), находим

здесь р_р выражено в см^-3 (заметим, что при вычислении все величины должны быть представлены в единицах МКС). В собст­венном полупроводнике, например в кремнии (р_i = 10¹¹ см^-3), время диэлектрической релаксации порядка 1 мкс для мате­риала, используемого в транзисторах (р_р ~ 10¹⁴ см^-3), значение τ_d находится в наносекундной области.

3.3. Если избыточные концентрации электронов и дырок ввести в определенную плоскость, например в плоскость р-п-перехода, то результирующий электрический ток в хорошем приближении можно считать обусловленным лишь неосновными носителями.

Объяснить, почему и при каких условиях можно пренебречь основными носителями.

Решение. Инжекция избыточных носителей приводит к возникно­вению градиентов концентрации, но при этом в стационарных условиях для сохранения нейтральности локальные избыточные концентрации будут всюду одни и те же. Электронные и дырочные токи можно поэтому записать так:

(3.14)

(3.15)

Здесь подвижности μ_е, μ_h и коэффициенты диффузии D_e, D_h свя­заны между собой соотношениями Эйнштейна

(3.16)

(3.17)

Первый член в правой части уравнений (3.14) и (3.15) представляет собой дрейф под действием электрического поля Е; второй член соответствует диффузии. Поскольку на электроны и дырки действует одно и то же поле, то дрейфовые токи пропор­циональны соответствующим локальным концентрациям пир.

Рассмотрим, например, материал n-типа при низком уровне инжекции, так что всюду п>>р. Электронный дрейфовый ток здесь намного больше, чем дырочный дрейфовый ток, в то время как диффузионные токи одинаковы (нo противоположного знака), поскольку D_e и D_h примерно равны. Поле Е зависит от вели­чины электронного тока, которая в свою очередь зависит от граничных условий. Например, в сильно асимметричных легиро­ванных р₊ − n-переходах электронный ток в р₊-область незначи­телен по сравнению с дырочным током в n-область (заданные концентрации вне перехода несколько неодинаковы). В этом слу­чае дрейфовая компонента I_е почти точно компенсирует диффу­зионную.

Отсюда следует, что в то время как дрейфовый ток основных носителей (электронов) по порядку величины равен диффузион­ному, дрейфовый ток неосновных носителей пренебрежимо мал по сравнению с диффузионным. Таким образом, при низких уровнях инжекции следует учитывать лишь диффузионную компоненту тока неосновных носителей, а сам процесс диффузии в первом приближении можно считать не зависящим от поля.

Заметим, что знаки членов уравнений (3.14) и (3.15) таковы, что для основных носителей дрейфовый ток противоположен диф­фузионному току, тогда как для неосновных носителей оба эти тока текут в одном направлении. Действительно, из-за этого эффекта при высоких уровнях инжекции

(3.18)

Кроме того, вообще говоря, сильная инжекция не может быть независимой от поля, так как это отвечало бы нереальному усло­вию I_e = -bI_h, где b = μ_e/μ_h. По этой причине в случае преиму­щественно диффузионного потока неосновные носители заряда диффундируют так, как если бы они одни присутствовали в системе, в то время как основные носители только обеспечивают зарядный фон, необходимый для нейтральности.

3.4. Определить прямые вольт-амперные характеристики дио­дов с реальными р − n-переходами.

Решение. Если к р − n -переходу приложить внешнее смещение V, то это вызывает нарушение равновесных концентраций вблизи области объемного заряда. При смещениях, достаточно низких для того, чтобы расщепление квазиуровней Ферми было намного меньше V_диф, для избыточных концентраций Δр_b и Δп_а у краев области объем­ного заряда имеем:

(3.19)

В случае прямого смещения потенциал V положителен, избы­точные неосновные носители заряда, инжектированные через р − n-переход, точно нейтрализуются всюду соответствующим заря­дом основных носителей, поступающих через задний контакт. Поток неосновных носителей можно приближенно описать как диффузию в отсутствие поля, так что ток пропорционален созданным концентрациям Δп_а и Δр_b, поэтому можно записать идеализированное соотношение

(3.20)

где I₀ − константа, зависящая от геометрических и физических параметров прибора.

Вольт-амперная характеристика столь идеальной формы редко встречается у реальных переходов; чаще прямая характеристика имеет вид

(3.21)

где 1 < α < 2. В действительности график lnI в зависимости от V может оказаться не прямой, а извилистой линией, средний тан­генс угла наклона которой соответствует e/α kT.

Есть два механизма, которые, как можно показать, приводят к тангенсу угла наклона, равному е/2kT. Первый имеет место в начале сильной инжекции. Второй, пригодный при низких прямых смещениях в кристаллах, подобных кремнию (имеющих относительно большую ширину запрещенной зоны), обусловлен рекомбинацией в области объемного заряда.

В кристаллах с достаточно широкой запрещенной зоной кон­центрации неосновных носителей заряда п_р и р_n очень малы, и поэтому диффузионные токи для данного прямого смещения намного меньше, чем в кристалле с относительно небольшой шириной запрещенной зоны. С другой стороны, конечное расщепление ква­зиуровней Ферми в области объемного заряда подразумевает конеч­ную рекомбинацию, которая, как можно показать, увеличивается как ехр(eV/2kT). Это означает, что в область пространственного заряда со стороны области n-типа входит электронный ток больший, чем уходит из этой области со стороны области р-типа.

При очень высоких прямых смещениях, больших чем V_диф, могут возникать два предельных случая. В одном из этих случаев переход достаточно узок для того, чтобы рекомбинация была отно­сительно небольшой, и, следовательно, инжектированные концен­трации носителей заряда будут везде преобладающими.

Перенос включает конечные поля, и можно показать теоретически и подтвердить экспериментально, что характеристики имеют вид

I ~ (V – V_диф)². (3.22)

Наоборот, диод может иметь широкие области р- и n-типа, так что рекомбинация является почти полной. В этом случае омическое падение потенциала IR на немодулированном объемном сопротивлении R прибора является преобладающим, и тогда эффективное смещение у перехода есть

V_s = V – IR, (3.23)

в пределе характеристика становится линейной, пересекая ось напряжений в точке V_диф.