14. Теоретико-множественные реляционные операции. Свойства реляционной операции декартова произведения.

Существует много подходов к определению реляционной алгебры, которые различаются набором операций и способами их интерпретации, но в принципе, более или менее равносильны. Мы опишем немного расширенный начальный вариант алгебры, который был предложен Коддом. В этом варианте набор основных алгебраических операций состоит из восьми операций, которые делятся на два класса - теоретико-множественные операции и специальные реляционные операции. В состав теоретико-множественных операций входят операции:

объединения отношений;

Отношение с тем же заголовком, что и у совместимых по типу отношений A и B, и телом, состоящим из кортежей, принадлежащих или A, или B, или обоим отношениям. Синтаксис:

A UNION B

пересечения отношений;

Пересечение

Отношение с тем же заголовком, что и у отношений A и B, и телом, состоящим из кортежей, принадлежащих одновременно обоим отношениям A и B. Синтаксис:

A INTERSECT B

взятия разности отношений

Кортеж — упорядоченный набор фиксированной длины.

Отношение, являющееся разностью (MINUS) двух отношений с одинаковыми заголовками, включает все кортежи, входящие в отношение-первый операнд, такие, что ни один из них не входит в отношение, которое является вторым операндом.

прямого произведения отношений.

Декартово произведение

Отношение (A₁, A₂, …, A_m, B₁, B₂, …, B_m), заголовок которого является сцеплением заголовков отношений A(A₁, A₂, …, A_m) и B(B₁, B₂, …, B_m), а тело состоит из кортежей, являющихся сцеплением кортежей отношений A и B:

(a₁, a₂, …, a_m, b₁, b₂, …, b_m)

таких, что

(a₁, a₂, …, a_m)∈ A,

(b₁, b₂, …, b_m)∈ B.

Синтаксис:

A TIMES B

Специальные реляционные операции включают:

ограничение отношения;

проекцию отношения;

соединение отношений;

деление отношений.

Кроме того, в состав алгебры включается операция присваивания, позволяющая сохранить в базе данных результаты вычисления алгебраических выражений, и операция переименования атрибутов, дающая возможность корректно сформировать заголовок (схему) результирующего отношения.

Основными операциями над таблицами являются следующие.

Проекция - построение новой таблицы из исходной путем включения в нее избранных столбцов исходной таблицы.

Ограничение - построение новой таблицы из исходной путем включения в нее тех строк исходной таблицы, которые отвечают некоторому критерию в виде логического условия (ограничения).

Объединение - построение новой таблицы из 2-ух или более исходных путем включения в нее всех строк исходных таблиц (при условии, конечно, что они подобны).

Декартово произведение - построение новой таблицы из 2-ух или более исходных путем включения в нее строк, образованных всеми возможными вариантами конкатенации (слияния) строк исходных таблиц. Количество строк новой таблицы определяется как произведение количеств строк всех исходных таблиц.

Декартово произведение

Декартово произведение RxS двух отношений (двух таблиц) определяет новое отношение - результат конкатенации (т.е. сцепления) каждого кортежа (каждой записи) из отношения R с каждым кортежем (каждой записью) из отношения S .

RxS={(a, 1, 1, h), (a, 2, 1, h),

(b, 1, 1, h), ... }

SELECT R.a1, R.a2, S.b1, S.b2

FROM R, S

5.3. Декартово произведение отношений в SQL.

Результат декартова произведения двух отношений показан в таблице.

Таблица 5.1.
R x S
R.a1	R.a2	S.b1	S.b2
A	1	1	H
A	1	2	G
A	1	3	H
A	2	1	H
A	2	2	G
A	2	3	H
B	1	1	H
B	1	2	G
B	1	3	H
B	3	1	H
B	3	2	G
B	3	3	H
B	4	1	H
B	4	2	G
B	4	3	H