Динамика точки и системы / Теоретическая механика

41

Коэффициент k называется коэффициентом трения качения.

Он определяется экспериментально, измеряется в системе СИ в метрах и определяет плечо пары (P; N ) при качении колеса.

16. Методика решения задач статики

Общая схема решения задач о равновесии тела (или конструкции, состоящей из нескольких тел) содержит несколько этапов.

Необходимо:

1.Выбрать тело (или конструкцию), исследование равновесия которого позволит определить требуемые величины. Начертить расчётную схему - упрощённый рисунок, на который вынесены лишь необходимые для решения линейные размеры и углы, а несущественные детали опущены.

2.Изобразить на схеме активные силы, заданные в условии задачи.

3.Если тело несвободно, отбросить наложенные на него механические связи, заменив их действие реакциями в соответствии с видами связей. После такой замены тело становится свободным.

4.Проверить выполнение необходимого условия статистической определимости задачи: число неизвестных, появившихся на расчётной схеме, не должно превышать числа уравнений равновесия для рассматриваемой системы сил.

5.Если задача статически определима, то, используя условия равновесия системы сил, составить систему уравнений равновесия и решить её.

При решении задачи рекомендуется действовать строго по описанной схеме.

42

КИНЕМАТИКА

В кинематике изучается движение твердых тел без учета их масс и действия на них сил. Движение тел происходит в пространстве и связано с изменением времени. В системе СИ расстояние измеряется в метрах, а время в секундах. Кинематическими характеристиками движения являются траектория, скорость и ускорение. Задать движение точки (или тела) - значит каким-то образом определить положение точки (или тела) в пространстве в любой момент времени.

Кинематика точки

Траектория – это множество последовательных положений точки в пространстве, то есть кривая, которую описывает точка при движении в пространстве.

Способы задания движения точки: Векторный способ задания движения точки.

Положение точки в пространстве определяется радиус-вектором r , который меняется с течением времени (рис. 2.1).

Рис. 2.1

Закон движения точки задаётся, как функция изменения вектора r(t) за время от t0 до tk

Координатный способ задания движения.

Для того, чтобы движение было определено, можно задать закон движения, как систему функций изменения координат точки.

44

Закон движения - это функция изменения естественной координаты S.

ìS = f (t)

íît0 £ t £ tk

S(t) – естественная координата.

Для определения естественной координаты S (рис. 2.2)задаются:

1)траектория (кривая L);

2)начальная точка траектории OS ;

3)положительное и отрицательное направления движения по траектории.

Естественная координата S - это длина дуги, отсчитываемая от на-

чальной точки OS до движущейся точки M на траектории. Если отсчёт длины дуги ведётся в положительном направлении, то естественная координата положительная, в противном случае - отрицательная (рис. 2.2).

Рис. 2.2

В каждой точке траектории определяются естественные оси координат τ , n,b .

Векторы τ , n,b - орты естественных осей координат; τ = n = b =1 .

Вектор τ направлен по касательной к траектории в положительном направлении изменения естественной координаты S, a вектор n перпендикулярен τ , лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону во-

46

пательного движения.

Рис. 2.3

Для точек A и B выполняется векторное равенство: rB = rA + AB . Дифференцируя его, получаем:

При поступательном движение твердого тела траектории всех точек одинаковы, скорости всех точек равны и ускорения также равны.

Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси.

Это такое движение, при котором хотя бы две точки, принадлежащие телу или неизменно с ним связанные, остаются неподвижными.

47

Ось, проходящая через две неподвижные точки, неподвижна и на-

зывается осью вращения твердого тела. На рис. 2.4 ось вращения Oz.

На рис. 2.5 показано сечение вращающегося тела, проходящее через точку M перпендикулярно оси вращения Oz.

Положение тела в пространстве определяется углом поворота ϕ (рис.

2.5).

Закон вращательного движения твёрдого тела вокруг неподвижной оси:

ϕ = f (t) , t0 £ t £ tk

Кинематические характеристики движения тела:

Векторы угловой скорости и углового ускорения ω и ε .

Эти векторы лежат на оси Oz и направлены так, что проекция на ось

Oz:

прozω = ω и прozε = ε (рис. 2.4).

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси каждая его точка движется по окружности, радиус которой равен расстоянию r от этой точки до оси вращения (рис. 2.5).

Скорости и ускорения точки определяют по формулам:

VM = ω ×OM

aM = aMτ + aMn

aMτ = ε ×OM

вой скорости ω и углового ускорения ε соответственно. На рис. 2.4 и рис. 2.5 показан случай, когда ω и ε положительны.

Вектор скорости точки М можно определить по формуле Эйлера:

VM = ω ´OM

Движение твердого тела с одной неподвижной точкой (Сферическое движение).

Это такое движение, при котором одна точка, принадлежащая телу или неизменно с ним связанная, остается неподвижной (рис. 2.6).

Так как каждая точка тела движется по некоторой сферической поверхности, такое движение тела называют также сферическим.

В каждый момент времени при движении твёрдого тела с одной неподвижной точкой существует мгновенная ось вращения, проходящая через эту точку. Вдоль этой оси направлен вектор мгновенной угловой ско-

48

рости ω .

Общий случай движения твердого тела.

Для изучения такого движения в твёрдом теле фиксируется произвольная точка А, которая называется полюсом (рис. 2.7)

Движение твердого тела рассматривается, как сложение поступательного движения вместе с системой координат, взятой в точке А с осями Ax1, Ay1, Az1, параллельными осям Ox, Oy, Oz, и вращательного движения вокруг точки А, как неподвижной.

Определение скорости произвольной точки М:

rM = rA + AM .

Дифференцируем по времени

∙

r&M = r&A + AM .

Скорость точки M равна

VM = VA + ω × AM .

Определение ускорения точки M:

∙

aM = V&M = V&A + ω& × AM + ω × AM .

50

Предположим, что материальная точка М движется относительно подвижной системы координат Ax1y1z1 по некоторой траектории Тотн. В этом случае по отношению к неподвижной системе координат Oxyz точка М совершает сложное движение, так как она движется вместе с телом (подвижной системой координат Ax1y1z1) и ещё сама движется по отношению к этому телу.

При изучении такого движения точки различают три вида движения этой точки.

Абсолютным движением точки М называется её движение по от-

ношению к неподвижной (абсолютной) системе координат. Скорость и ускорение точки в абсолютном движении называют соответственно абсо-

лютной скоростью и абсолютным ускорением и обозначают V и a . Относительным движением точки М называется её движение по

отношению к подвижной системе координат. Скорость и ускорение точки в относительном движении называются относительной скоростью и от-

носительным ускорением и обозначают Vr и ar .

Переносным движением называется движение подвижной системы координат по отношению к неподвижной. При этом движении подвижная система «переносит» вместе с собой множество неизменно связанных с ней точек.

Переносной скоростью и переносным ускорением называются скорости и ускорения той неизменно связанной с подвижной системой точки (В), с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка М, и обозначают Ve и ae .

Основные теоремы.

Теорема о скорости при сложном движении точки: вектор абсо-

лютной скорости равен геометрической сумме векторов относительной и переносной скоростей

V = Vr + Ve .

Теорема об ускорении при сложном движении точки (теорема Кориолиса): вектор абсолютного ускорения равен геометрической сумме векторов относительного, переносного и кориолисова ускорений

a = ar + ae + ak

Вектор ускорения Кориолиса определяется формулой ak = 2(ωe ×Vr ) .

и находится в соответствии с правилами вычисления векторного про-

каждый из них может являться геометрической суммой нескольких составляющих, например касательного и нормального ускорений.