Динамика точки и системы / Теоретическая механика
.pdf
91
Рис. 3.4
92
Рис. 3.5
93
ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ
Дано: F1 = 15 Н; F2 = 60 Н ; |
F3 = 30 Н; |
F4 = 20 Н; |
F5 = 25 |
Н; M = 10 Нм; a = 0,5 м; b = 0,4 м; |
c = 0,3 м; |
α = 600; |
β = 300 |
(рис. 3.6а).
РЕШЕНИЕ
Прежде, чем приступить к определению главного вектора R заданной системы сил и ее главного момента M0 относительно начала координат, введем углы γ, φ и разложим силу F4 на две составляющие: F4¢ – на плоскости XOY и F4(3) - перпендикулярно к ней (рис. 3.6а).
F4′ = F4 ×sin β =10 Н, |
F4(3) = F4 ×cos β =17,32 Н. |
Проекцию силы F4 на ось найдем, как сумму проекций составляющих F4¢ и F4(3) , а ее момент относительно оси, согласно теореме Вариньо-
на, будет равен сумме моментов F4¢и F4(3) относительно этой же оси.
Для проекций главного вектора на координатные оси получим выражения:
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rx = åFkx |
= -F1 + F2 ×cosϕ + F4¢ ×sinγ |
, |
|
|
|
|
|
|
(1) |
||||||||
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ry = åFky |
= F3 ×cosα - F4¢ ×cosγ - F5 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|||||||
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rz = åFkz |
= -F2 ×sinϕ + F3 ×sinα + F4(3) |
, |
|
|
|
|
|
|
(3) |
||||||||
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sinγ = OA |
= |
|
|
|
|
a |
= 0,78 |
, |
cosγ = OD |
= |
|
|
|
b |
= 0,62 , |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
AD |
|
|
|
a2 + b2 |
|
|
|
|
AD |
|
|
|
a2 + b2 |
|
|||
sinϕ = ON |
= |
|
|
|
|
c |
= 0,51 |
, |
cosϕ = |
OA |
= |
|
|
|
a |
= 0,86 . |
|
|
|
|
|
|
AN |
|
|
|
|
||||||||
AN |
|
|
|
|
a |
2 + c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 + c2 |
|
|
Подставив в (1) – (3) выражения для F4¢и F4(3) , заданные значения F1,
F2, …, F5, α, β, а также найденные значения тригонометрических функций углов φ и γ, получим
|
94 |
|
Rx = 44,27 Н, |
Ry = −16,25 Н, |
Rz =12,31 Н. |
Модуль главного вектора |
|
|
а)
б) |
в) |
Рис. 3.6
95
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R = (R )2 |
+ (R |
y |
)2 |
+ (R )2 = (44,27)2 + (-16,25)2 + (12,31)2 = 48,74 Н. |
|||||||||||||
|
x |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Направляющие косинусы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
r r |
Rx |
|
|
|
44,27 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
cos(R,i )= |
|
|
= |
= 0,91 , |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
R |
48,74 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
r r |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
Ry |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
cos (R, j )= |
|
= |
-16,25 = -0,33 , |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
R |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
r r |
|
|
48,74 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
Rz |
|
|
|
12,305 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
cos(R,k )= |
|
|
= |
|
= 0,25 . |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
R |
48,74 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Проекции главного момента системы сил относительно начала координат на координатные оси равны суммам моментов всех сил относительно соответствующих координатных осей. Поэтому, будем иметь:
|
5 |
r |
= F3 × h3 |
+ F4(3) ×b + F5 ×c , |
|
|
Mox = M x = åmx (Fk ) |
|
(4) |
||||
|
k =1 |
r |
|
|
|
|
|
5 |
= F2 ×h2 - F3 ×sinα × a , |
|
|
||
Moy = M y = åmy (Fk ) |
|
(5) |
||||
|
k =1 |
r |
|
|
|
|
|
5 |
= F1 ×b + F3 ×cosα ×a - F4¢ × h4 - F5 ×a + M |
|
|
||
Moz = M z = åmz (Fk ) |
, |
(6) |
||||
|
k =1 |
|
|
|
|
|
Из рис. 3.6 |
|
|
|
|
|
|
h2 |
= a ×sinϕ = 0,5×0,51= 0,26 |
м, |
|
|
||
h3 |
= AE × sinα = (AB - BE) × sinα = |
|
|
|||
|
= (a - c ×ctgα)×sinα = (0,5 - 0,3×ctg600 ) ×sin 600 = 0,28 |
м, |
|
|||
h4 |
= b ×sinγ = 0,4×0,78 = 0,31 |
м. |
|
|
||
Подставив в (4) – (6) числовые значения всех необходимых величин, получим:
Mox = 22,92 Нм, |
Moy = 2,45 Нм, |
Moz = 7,87 Нм |
Модуль главного момента
Mo = 
(Mox )2 + (Moy )2 + (Moz )2 = 
22,922 + 2,452 + 7,872 = 24,36 Н×м.
96
Направляющие косинусы
r |
r |
Mox |
|
|
|
22,92 |
|
|
||
cos(Mo |
,i )= |
= |
|
= 0,941, |
||||||
|
Mo |
24,36 |
|
|||||||
r |
|
|
|
|
|
|
|
|||
r |
|
Moy |
|
|
2,45 |
|
|
|||
cos(Mo |
, j )= |
|
= |
|
= 0,101, |
|||||
|
|
|
24,36 |
|||||||
r |
|
|
Mo |
|
|
|
|
|||
r |
|
Moz |
|
|
|
|
7,87 |
|
|
|
cos(Mo |
,k )= |
|
|
= |
|
= 0,323. |
||||
|
Mo |
|
24,36 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Примечание. При вычислении моментов сил относительно координатных осей во многих случаях целесообразно разлагать силу на составляющие, параллельные осям координат, а затем применять теорему Вариньона. Проиллюстрируем этот метод на примере вычисления момента
силы F4 относительно оси Oz. Выше показано разложение силы F4 на две составляющие F4¢ и F4(3) (F4 = F4¢ + F4(3) ) . Далее разложим силу F4¢, распо-
ложенную в координатной плоскости Oxy на две составляющие F4(1) и F4(2) , параллельные соответственно осям Ox и Oy (рис. 3.6б). Следовательно,
F4¢ = F4(1) |
|
+ F4(2) , |
а F4¢ = F4(1) + F4(2) |
+ F4(3) , то-есть сила F4 разложена на со- |
||||||||||
ставляющие F (1) , |
|
F (2) , F (3) |
, параллельные осям координат (рис. 3.6в). |
|||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
Модули сил F (1) |
и F |
(2) легко вычисляются: |
|
|||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
F4(1) = F4¢ ×sinγ = F4 ×sin β ×sinγ = 7,8 |
Н, |
|||||||||||||
F4(2) = F4¢×cosγ = F4 ×sin β ×cosγ = 6,2 |
Н, |
|||||||||||||
На основании теоремы Вариньона получим |
||||||||||||||
M |
z |
(F ) = M |
z |
(F(1) ) + M |
z |
(F (2) ) + M |
z |
(F (3) ) , |
||||||
|
4 |
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
4 |
||||
M |
z |
(F (1) ) = -F(1) |
× AB = -3,12 |
Н×м, |
|
|
|
|||||||
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
z |
(F (2) ) = M |
z |
(F(3) ) = 0 . |
|
|
|
|
||||||
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно, |
M z (F4 ) = -3,12 Нм. |
|
||||||||||||
97
ЗАДАНИЕ С-5
Равновесие тел с учетом сил трения
Определить, при каких значениях силы F возможно равновесие конструкции, если коэффициент трения скольжения между тормозной колодкой и касающимся с ней телом равен f. Шириной колодки пренебречь, считая контакт точечным. Определить также реакции опор O, A, B, C, D, соответствующие предельному состоянию равновесия конструкции. Трением в шарнирах и опорах пренебречь. Схемы вариантов приведены на рис.5.1- 5.5, а необходимые данные - в таблице 5.
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 5 |
||
№№ п/п |
Р, кН |
Q, кН |
a, м |
b, м |
l, м |
α, 0 |
|
f |
|
1 |
0,1 |
0,4 |
0,5 |
0,7 |
0,03 |
45 |
|
0,10 |
|
2 |
0,2 |
0,6 |
0,6 |
0,4 |
– |
30 |
|
0,20 |
|
3 |
0,3 |
0,8 |
0,8 |
0,2 |
0,06 |
60 |
|
0,25 |
|
4 |
0,4 |
0,5 |
0,4 |
0,5 |
0,08 |
30 |
|
0,15 |
|
5 |
0,5 |
0,9 |
0,3 |
0,7 |
0,04 |
60 |
|
0,10 |
|
6 |
0,6 |
1,0 |
0,2 |
0,6 |
– |
45 |
|
0,25 |
|
7 |
0,4 |
1,2 |
0,7 |
0,2 |
0,06 |
30 |
|
0,20 |
|
8 |
0,3 |
1,4 |
0,8 |
0,4 |
– |
60 |
|
0,15 |
|
9 |
0,5 |
1,6 |
0,5 |
0,3 |
– |
45 |
|
0,20 |
|
10 |
0,3 |
1,2 |
0,6 |
0,3 |
0,08 |
30 |
|
0,25 |
|
11 |
0,1 |
0,4 |
0,5 |
0,7 |
0,03 |
45 |
|
0,10 |
|
12 |
0,2 |
0,6 |
0,6 |
0,4 |
– |
30 |
|
0,20 |
|
13 |
0,3 |
0,8 |
0,8 |
0,2 |
– |
60 |
|
0,25 |
|
14 |
0,4 |
0,5 |
0,4 |
0,5 |
0,08 |
30 |
|
0,15 |
|
15 |
0,5 |
0,9 |
0,3 |
0,7 |
– |
60 |
|
0,10 |
|
16 |
0,6 |
1,0 |
0,2 |
0,6 |
0,05 |
45 |
|
0,25 |
|
17 |
0,4 |
1,2 |
0,7 |
0,2 |
0,9 |
30 |
|
0,20 |
|
18 |
0,3 |
1,4 |
0,8 |
0,4 |
0,02 |
60 |
|
0,15 |
|
19 |
0,5 |
1,6 |
0,5 |
0,3 |
0,08 |
45 |
|
0,20 |
|
20 |
0,3 |
1,2 |
0,6 |
0,3 |
– |
30 |
|
0,25 |
|
21 |
0,1 |
0,4 |
0,5 |
0,7 |
0,03 |
– |
|
0,10 |
|
22 |
0,2 |
0,6 |
0,6 |
0,4 |
0,04 |
– |
|
0,20 |
|
23 |
0,3 |
0,8 |
0,8 |
0,2 |
0,06 |
45 |
|
0,25 |
|
24 |
0,4 |
0,5 |
0,4 |
0,5 |
0,08 |
30 |
|
0,15 |
|
25 |
0,5 |
0,9 |
0,3 |
0,7 |
0,04 |
30 |
|
0,10 |
|
26 |
0,6 |
1,0 |
0,2 |
0,6 |
0,05 |
60 |
|
0,25 |
|
27 |
0,4 |
1,2 |
0,7 |
0,2 |
0,06 |
45 |
|
0,20 |
|
28 |
0,3 |
1,4 |
0,8 |
0,4 |
0,02 |
30 |
|
0,15 |
|
29 |
0,5 |
1,6 |
0,5 |
0,3 |
0,08 |
60 |
|
0,20 |
|
30 |
0,3 |
1,2 |
0,6 |
0,3 |
0,08 |
45 |
|
0,25 |
|
98
Рис. 5.1
99
Рис. 5.2
100
Рис. 5.3