- •1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
- •1.1. Окрестность точки
- •1.2. Предел функции в точке. Непрерывность функции в точке
- •1.3. Предел функции на бесконечности
- •1.4. Бесконечно большая и бесконечно малая функции
- •1.5. Односторонние пределы
- •1.6. Элементарные функции
- •2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ
- •2.1. Правила предельного перехода
- •2.2. Предел дробно-рациональной функции
- •2.3. Предел функций, содержащих иррациональные выражения
- •2.4. Замечательные пределы. Эквивалентные бесконечно малые функции
- •2.5. Пределы, содержащие тригонометрические функции
- •2.6. Пределы выражений, содержащих показательную, логарифмическую и степенную функции
- •2.7. Предел показательно-степенной функции
2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ
2.1. Правила предельного перехода
Множество , дополненное двумя бесконечно удаленными точками, называется расширенной числовой осью и обозначается .
= {−∞,+∞}. Арифметические операции над бесконечно удаленными
точками будем осуществлять по следующим правилам: |
|
|||||||||||||
1. A +(∞) = ∞, A . |
|
|
|
|
|
|
4. A ∞ = ∞, A , A ≠ 0 . |
|
||||||
2. +∞+(+∞)= +∞. |
|
|
|
|
|
|
5. |
A |
|
= 0 , A . |
|
|||
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. −∞+(−∞)= −∞. |
|
|
|
|
|
|
6. |
A |
=∞, A , A ≠ 0 . |
|
||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Операции +∞−(+∞), |
−∞−(−∞), 0 ∞, |
∞ |
, |
0 не определены. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
0 |
|
|
Правила 1 и 4 – 6 определены вне зависимости от знака бесконечности. |
||||||||||||||
Пусть a . Если при x → a |
|
|
функции |
f (x) и g(x) имеют конечные |
||||||||||
или бесконечные пределы, а c – некоторая постоянная, то |
|
|||||||||||||
lim |
[ |
f (x) ± g(x) |
] |
= lim f (x) ± lim g(x); |
(2.1) |
|||||||||
x→a |
|
|
|
|
x→a |
|
|
|
x→a |
|
||||
lim |
f (x) g(x) = |
|
lim f (x) lim g(x); |
(2.2) |
||||||||||
x→a |
|
|
|
|
|
x→a |
x→a |
|
||||||
если g(x) ≠ 0, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
lim f (x) |
|
|
||||||
|
|
|
lim |
= |
x→a |
|
|
|
; |
(2.3) |
||||
|
|
|
|
lim g(x) |
||||||||||
|
|
|
x→a g(x) |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim cg(x) = c lim g(x). |
(2.4) |
||||||||||
|
|
|
x→a |
|
|
|
|
x→a |
|
|
|
Формула (2.4) вытекает из формулы (2.2), если в качестве одного из сомножителей взять постоянную функцию f (x) = c . Приведенные формулы известны как теоремы о пределе суммы, произведения и частного.
Замечание. Операцию деления на ноль в правиле 6 нужно воспринимать
в смысле предельного перехода, т. е. если lim f (x) = A ≠ 0 и g(x) ≠ 0 , x→a
но lim g(x) = 0 , то |
lim |
f (x) |
= |
A |
= ∞. |
|
0 |
||||
x→a |
x→a g(x) |
|
|
11
|
По формуле (2.3) и |
в силу правил |
5, 6 |
имеем: если f (x) ≠ 0 и |
||||
lim |
f (x) = 0 , то lim |
1 |
|
= ∞; обратно, если |
lim |
f (x) =∞, то lim |
1 |
= 0 . |
|
|
|
||||||
x→a |
x→a f (x) |
|
x→a |
x→a f (x) |
|
Таким образом, функция, обратная к бесконечно малой, является бесконечно большой и наоборот, функция, обратная к бесконечно большой, является бес-
конечно малой. Например, так как |
|
lim xn |
=∞ (1.2), то |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
lim |
|
1 |
= 0 . |
|
|
|
(2.5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
x→∞ xn |
|
|
|
|
|||
|
Рассмотрим |
композицию функций f (ϕ(x)) |
[1, 104]. Пусть функция |
||||||||||
y = ϕ(x) |
имеет |
конечный |
или бесконечный предел |
при x → a , |
т. е. |
||||||||
lim ϕ(x) = A, а функция |
z = f ( y) |
непрерывна в точке |
A . Тогда верна фор- |
||||||||||
x→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мула для предела композиции функций |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
lim |
f (ϕ(x)) = f ( lim ϕ(x)) = f ( A). |
|
(2.6) |
||||||
|
|
|
|
x→a |
|
|
|
x→a |
|
|
|
|
|
|
Пример 2.1. Вычислить xlim→2(3x4 + 2x2 − x +1). |
|
|
||||||||||
|
Решение. Воспользуемся формулам (2.1), (2.4) и непрерывностью посто- |
||||||||||||
янной и степенной функций (1.1): |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
lim |
( |
3x4 |
+ 2x2 − x +1 =3 lim x4 + 2 lim x2 − lim x + lim 1 = |
|
|||||||||
x→2 |
|
|
) |
x→2 |
x→2 |
x→2 |
x→2 |
|
|
||||
= 3·16 + 2·4 – 2 + 1 = 55. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Обобщим полученный результат: предел многочлена при x → x0, |
x0 |
|||||||||||
равен значению многочлена в точке x0 . |
|
|
|
|
|||||||||
|
Пример 2.2. Вычислить |
lim |
arctg x . |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
ln x |
|
|
|
|
Решение. По формуле о пределе частного и правилу 5, получаем:
lim arctg x x→+∞ ln x
lim arctg x
= x→+∞
lim ln x x→+∞
|
π |
|
||
|
2 |
|
= 0 . |
|
= |
|
|||
|
||||
|
+∞ |
|
||
|
|
|
|
Пример 2.3. Вычислить lim |
(anxn + an−1xn−1 +…+ a1x + a0 ), |
an ≠ 0 , |
x→±∞ |
|
|
n ≥1, n . |
|
|
Решение. Для всех слагаемых, за исключением последнего, имеем:
12
lim |
a xk = a |
k |
|
lim xk = ±∞, k =1, …, n . Соотношения |
(+∞)+(+∞)= +∞, |
x→±∞ |
k |
|
x→±∞ |
|
(−∞)+(−∞)= −∞ можно использовать для вычисления предела многочлена
только, если все слагаемые многочлена стремятся к бесконечности одного и того же знака. В общем случае это не так, потому что знак предела
lim |
a xk |
при нечетном k определяется не только знаком a |
k |
, а зависит еще |
x→±∞ |
k |
|
|
и от знака x (1.2).
lim (anxn + an−1xn−1 +…+ a1x + a0 ) =[вынесем из каждого слагаемого, x→±∞
в качестве общего множителя, переменную в наивысшей степени n ] =
= lim |
xn a |
+ a |
1 |
+…+ a |
1 |
+ a |
1 |
|
= |
|
|
|
|
|
|||||||
x→±∞ |
|
n |
n−1 |
x |
1 |
xn−1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
|
= lim |
xn |
lim |
a |
+ a |
lim 1 |
+…+ a |
lim |
1 |
+ a |
lim |
1 |
|
=[2.5]= |
|
|
|
|||||||||||
x→±∞ |
|
|
n |
n−1 |
x→±∞ x |
1 |
x→±∞ xn−1 |
0 |
|
|
|
||
x→±∞ |
|
|
|
|
x→±∞ xn |
|
= ±∞ (an +0 +…+0 +0)= ±∞ an =[по правилу 4] = ±∞.
Итак, любой многочлен, степень которого не меньше 1, является бесконечно большой функцией при x → ±∞.
Пример 2.4. Вычислить lim sin (ex ) . x→−∞
Решение. Внутренняя показательная функция y = ex является бесконечно малой при x → −∞, так как ее основание e >1. Внешняя функция z =sin y непрерывна в точке 0. По формуле (2.6) имеем:
lim |
sin (ex ) =sin ( lim ex ) =sin 0 = 0 . |
|
x→−∞ |
x→−∞ |
|
Пример 2.5. Вычислить lim x2 |
+ 2x −1 . |
|
|
x→±∞ |
|
Решение. Сначала применим к многочлену, стоящему под корнем, прием, рассмотренный в примере 2.3.
|
x |
2 |
+ 2x −1 |
= |
|
x |
2 |
|
+ |
2 |
− |
1 |
|
= |
|
x |
2 |
|
+ |
2 |
− |
1 |
=[восполь- |
||||
lim |
|
lim |
|
1 |
|
|
|
lim |
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x |
x2 |
|
x |
x2 |
|||||||||||||||||||||
x→±∞ |
|
|
|
|
x→±∞ |
|
|
|
|
|
|
|
x→±∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
зуемся формулой о пределе произведения и учтем, что |
|
x2 = |
|
x |
|
] = |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
13
= lim |
|
x |
|
|
lim |
1 + |
2 |
− |
1 |
=[применим |
формулу |
о пределе композиции |
||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
x |
x2 |
|||||||||||||||||||
x→±∞ |
|
|
|
x→±∞ |
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
функций] = |
lim |
x |
|
|
lim |
1 |
+ |
|
− |
|
= +∞ |
1 |
= +∞. |
|||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x→±∞ |
|
|
x→±∞ |
|
x |
|
x2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Рассмотрим предел lim |
|
x2 |
|
|
|
. Согласно результату, полу- |
||||||||||||||
|
+ 2x −1 − x |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ченному в примере 2.5, имеем: |
lim |
|
x2 + 2x −1 − x |
|
= +∞ − |
( |
+∞ . Одна- |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
ко данная операция над бесконечно удаленными точками не определена. При столкновении с какой-либо из неопределенных ситуаций: ∞ −∞, 0 ∞, ∞∞, 00 ,
принято говорить, что имеет место неопределенность соответствующего типа. Процесс вычисления предела в случае наличия неопределенности принято называть «раскрытием неопределенности». Раскрытию неопределенностей различных типов будет посвящен следующий раздел, в котором вернемся к подобному пределу.
2.2. Предел дробно-рациональной функции
Дробно-рациональной функцией называется частное двух многочленов
|
P(x) |
|
a xn + a |
xn−1 |
+…+ a x + a |
|
n |
|
|
|
||||
R(x) = |
|
= |
n |
n−1 |
|
|
1 |
0 |
, где a |
|
≠ 0 , b |
≠ 0. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Q(x) |
|
bs xs +bs−1xs−1 |
+…+b1x +b0 |
|
|
|
s |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Интерес представляют два типа задач: |
|
|
|
|
|
|||||||||
1. |
Вычислить |
lim |
P(x) |
. Неопределенность типа |
∞ . |
|
||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
x→∞ Q(x) |
|
|
|
|
|
∞ |
|
2. Вычислить lim P(x) , где x0 – корень многочленов P(x) и Q(x)
x→x0 Q(x)
[2, 21]. Неопределенность типа 00 .
При вычислении lim P(x) могут возникнуть три различные ситуации.
x→∞Q(x)
Пример 2.6. Вычислить lim |
|
x3 + x |
|
. |
|
−3x2 |
|
||
x→∞ x4 |
+1 |
14
Решение. Так как числитель и знаменатель дроби – бесконечно большие функции, то имеем дело с неопределенностью ∞∞ .
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
= [в числителе и знаменателе вынесем за скобки |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→∞ x4 −3x2 + |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
наивысшую степень x ] = |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
1 − |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 − |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
x |
4 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= lim |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
[воспользуемся |
|
|
|
|
|
формулами |
|
|
(2.1) – (2.4)] = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ x |
|
|
1 − |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
= lim |
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
0 |
|
|
|
|
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
−0 +0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
lim |
1 |
− |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Пример 2.7. Вычислить |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
4x4 −5x |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−∞ −2x2 −3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Выполним те же преобразования, что и в примере 2.6 и вос- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
пользуемся правилом 4: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
4 |
|
|
4 |
|
− |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
4x |
−5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ −2x2 −3x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−∞ |
x |
2 |
−2 − |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
4 − |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 −0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
x→−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= +∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= +∞( |
−2) |
= −∞. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
−2 −0 +0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
−2 |
− |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Пример 2.8. Вычислить |
lim |
|
−3x3 + x +1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ 3x3 + x2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
−3 |
+ |
1 |
|
+ |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3x |
+ x +1 |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
x |
3 |
||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x→∞ 3x3 + x2 |
|
|
∞ |
|
|
x→∞ |
|
|
x |
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
+ |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x3 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
−3 + |
1 |
|
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
−3 + |
|
+ |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
x2 |
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x2 |
x3 |
−3 +0 +0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
= lim |
|
|
|
|
= |
x→∞ |
|
|
|
|
|
= |
= –1. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 +0 +0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
x→∞ |
3 + |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
3 + |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обобщим результаты, полученные в примерах 2.2 – 2.8:
|
a |
n |
xn + a |
n−1 |
xn−1 |
+… + a x + a |
0 |
|
lim |
|
|
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
+…+ b x + b |
|
||
x→∞ b xs + b |
xs−1 |
|
||||||
|
|
s |
s−1 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, åñëè n < s; |
|
|
= ∞ |
|
|
∞, åñëè n > s; |
(2.7) |
|
= |
|||||
∞ |
|
|
an |
|
|
|
|
|
, åñëè n = s. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
b |
|
||
|
|
|
s |
|
Пример 2.9. Вычислить lim |
(x +1)3 −(x −1)3 |
|
x2 |
. |
|
x→∞ |
+1 |
Решение. Сначала раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе, а затем, сравнив степени многочленов, стоящих в числителе и знаменателе, по формуле (2.7) вычислим предел:
|
|
(x +1)3 −(x −1)3 |
|
∞ |
= lim |
x3 +3x2 +3x +1 −(x3 −3x2 +3x −1) |
= |
||||||
lim |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
||||
|
|
x2 +1 |
|
x2 |
+1 |
||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
∞ |
x→∞ |
|
|||||
= |
lim |
6x2 |
+ 2 |
= |
6 |
= 6 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x→∞ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Обратите внимание, что в ходе преобразования числителя третьи степени неизвестного сокращаются, а значит, числитель есть многочлен второй, а не третьей степени. Если этого не заметить и сразу воспользоваться формулой (2.7), то получится неверный ответ ∞!
При вычислении |
lim |
P(x) |
, где x |
– корень многочленов P(x) и Q(x) |
||||
|
||||||||
|
x→x0 Q(x) |
|
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
также возникают три различные ситуации. |
|
|||||||
Пример 2.10. Вычислить lim |
x3 |
− x2 |
− x +1 |
. |
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
x→1 x3 −3x + 2 |
|
16
Решение. Найдем значения числителя и знаменателя в |
точке |
1: |
P(1)=1 −1 −1 +1 = 0, Q(1)=1−3 + 2 = 0 . Значит, многочлены P(x) |
и Q(x) |
– |
бесконечно малые функции при x →1. Мы имеем дело с неопределенностью
0 . Число 1 является корнем обоих многочленов, следовательно, они делятся |
||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −1), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
на линейный многочлен |
который и порождает неопределенность. |
|||||||||||||||||||||||||||
Разделим числитель и знаменатель дроби на (x −1) «уголком» [2, 19]: |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−x3 |
|
|
−3x + 2 |
|
x −1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
−x |
3 |
− x |
2 |
− x +1 |
|
|
x −1 |
|
|
|
x3 |
− x2 |
|
|
|
x2 + x −2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−x2 −3x + 2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x3 − x2 |
|
|
|
|
|
x2 −1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
−−x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 − x |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−−x +1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
−x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на (x −1): |
||||||||||||||||||||||||||||
|
x3 − x2 − x +1 |
|
|
0 |
|
|
|
(x −1)(x2 −1) |
|
|
|
|
|
(x2 −1) |
. |
|
||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
0 |
= lim |
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
−3x + 2 |
|
|
|
|
|
−2) |
|
||||||||||||||||||
x→1 x3 |
|
|
|
x→1 (x − |
1)(x2 + x −2) |
x→1 (x2 + x |
|
|
Проверим, уничтожило ли данное преобразование неопределенность.
ВычислИВ значения многочленов x2 −1 и x2 + x −2 в точке 1, видим, что неопределенность сохранилась. Снова разложим числитель и знаменатель полученной дроби на множители и сократим общий множитель (x −1). Как
только неопределенность уходит, можно воспользоваться формулами о пределе частного и суммы функций:
lim |
(x2 −1) |
|
|
0 |
= lim |
(x −1)(x +1) |
= lim |
(x +1) |
|
1 +1 |
= |
2 |
. |
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
||||||
|
+ x −2) |
(x −1)(x + 2) |
(x + 2) |
1 + 2 |
3 |
|||||||||
x→1 (x2 |
|
|
0 |
x→1 |
x→1 |
|
|
|
||||||
|
Напомним, |
что |
число x0 называется |
корнем |
многочлена кратности |
|||||||||
k, k |
, если многочлен делиться нацело на |
(x − x )k |
, но уже не делится на- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
цело на |
(x − x )k +1 |
. Если k =1, то говорят, что корень |
x простой. |
|||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
В примере 2.10 число x =1 является корнем многочленов P(x) и Q(x) кратности 2.
17