29. Предел последовательности Основные теоремы
- если для любого E>0, существует такой N(номер последовательности), что любое n>N, выполняется |xn-a|<E
.
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, при этом все арифметические действия производятся только со сходящимися последовательностями
- Сходящиеся последовательности имеют единственный предел
- Сходящаяся последовательность ограничена.
-
Чтобы последовательность была сходящаяся
надо, чтобы её можно было представить
в виде
, где a
,
а {
}
– бесконечно малая последовательность
Остальные свойства на фотке:
Геометрический смысл:
А
– предел числовой последовательности
,
если для любого положительного эпсилон
найдётся номер n,
начиная с которого при n>
N
все члены последовательности
будут заключены в эпсилон окрестности
точки А какой бы узкой она не была
Вне этой окрестности может быть конечное число членов.
36. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва. Основные свойства непрерывных функций.
Функция
у = f(x) называется непрерывной
в точке
,
если существует предел функции в этой
точке и он равен значению функции в этой
точке, т. е.
.
Н
епрерывность
функции через приращение:
Функция
у=f(x) называется непрерывной в точке
,
если она определена в точке хо и ее
окрестности и бесконечно малому
приращению аргумента соответствует
бесконечно малое приращение функции,
т.е.
.
Точками разрыва функции называются точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности.
Классификация точек разрыва:
1.
Точки разрыва первого рода (скачок) –
точка
если
фукнция имеет конечные но не равные
односторонние пределы:
– причём не все три числа
равны между собой
Пример:
неравные односторонние пределы (разрыв
первого рода).
2. Точки разрыва второго рода (бесконечный разрыв) - точка если хотя бы один из односторонних пределов бесконечен или несуществует.
Пример:
Теоремы о непрерывных функциях
Теорема Вейерштрасса:
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она достигает на этом отрезке своего наименьшего наибольшего значения. На этом отрезке она ограничена.
Теорема Больцано-Коши:
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и принимает на его концах неравные значения f(a)=A, f(b)=B, то на этом отрезке она принимает все значения между А и В
Следствие из теоремы Больцано-Коши:
Если
функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b]
и принимает на концах значения разных
знаков, то существует
точка такая, что
Теорема:
Сумма, произведение и частное непрерывных функций есть непрерывная функция (для частного за исключением тех значений аргумента, где знаменатель равен нулю)
Теорема:
Пусть
функция u=g(x)
непрерывна в точке
,
а функция y=f(u)
непрерывна в точке
.Тогда
сложная функция y=f(g(x))
непрерывна в точке
.
37. Понятие сложной и обратной функций.
Определение:
Пусть функция z=g(x) определена на множестве X, а функция y=f(x) определена на множестве Z причём область значения функции g содержится в области определения функции f. Функция y=f(g(x)) называется сложной функцией, или функцией от функции, или суперпозицией функций z=g(x) и y=f(x).
Определение:
Пусть задана функция y=f(x). Если принять зависимую переменную y за аргумент, а независимую переменную x за функцию, то получится функция x=f(y), называемая обратной по отношению к функции y=f(x).
Свойства прямой и обратной функций:
1.
Область определения функции y=f(x).
Х является областью значений функции
Х =
2. Область значения функции y=f(x). У является областью определения функции Х =
3. Если функция y=f(x) возрастает(убывает) на множестве Х, то функция Х = возрастает(убывает)на множестве У, где У-область значений функции y=f(x).
4. Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой y=x
