9.1 Сигнал и аддитивная помеха

Применим наши знания из области теории информации к исследованию процессов, происходящих при аналогово-цифровом преобразовании. В частности, при возникновении помех в канале связи. На первой диаграмме рисунка 21 изображен некий исходный аналоговый сигнал, который мы рассмотрим на интервале T.

Рисунок 21 – Сигнал и аддитивная помеха

При этом на диаграмме показаны отсчеты аналогового сигнала через соответствующий интервал, значения отсчетов обозначены как x₁, x₂, … и т.д.

Предположим, что в канале действует аддитивная помеха ξ(t), рассмотрим ее на интервале T. Аддитивная помеха – это помеха, которая суммируется с исходным сигналом. Рассмотрим, что произойдет, когда к отсчетам x₁, x₂,… и т.д. аддитивно добавятся отсчеты помехи ξ1, ξ2, … и т.д. Очевидно, что в этом случае мы получим новые значения отсчетов y₁, y₂, …и т.д., по которым будет восстановлен новый непрерывный сигнал.

Визуальное сравнение исходного непрерывного сигнала с тем, который мы получили (3я диаграмма) показывает, что эти сигналы отличаются. Между ними возникают определенные искажения.

Итак, через канал связи передается непрерывный сигнал длительностью T. В канале связи действует аддитивная помеха ξ(t). Пусть сигнал имеет спектр, размещающийся в полосе пропускания канала, а полоса пропускания обозначена ∆F.

На приеме сигнал может быть записан:

(43)

То есть полезный сигнал суммируется с аддитивной помехой.

Применив теорему Котельникова, мы будем рассматривать не сам сигнал и помеху , а соответственно отсчеты этого сигнала через интервал Котельникова. Рассмотрим отсчеты через интервал , заменив непрерывные функции отсчетами.

Количество информации в сигнале относительно сигнала равно:

(44)

Помеха и сигнал статистически независимы. Значит, . Тогда:

(45)

Для оценки эффективности системы связи часто используют понятие скорости передачи информации, которая фактически равна количеству символов или бит, приходящихся на единицу сообщения. В данном случае количество бит, приходящихся на единицу сообщения, можно определить через следующее выражение (вместо количество информации подставляем соответствующие выражения):

(46)

Будем полагать, что в передаваемом сигнале ограничена дисперсия. При этом условии вычислим скорость передачи, когда энтропия максимальна, взяв ее значение из (24)

Воспользовавшись этим, и, полагая статистическую независимость сигналов и помехи, допуская, что отчёты сигналов и помехи также имеют нормальный закон, получаем:

= (47)

Из условия статистической независимости сигнала и помехи следует, что . Тогда получаем:

(48)

Заменяя отношение дисперсий на отношение средних мощностей, окончательно получаем:

(49)

С учётом введённого понятие скорости, мы окончательно получаем очень важное соотношение, которое определяет потенциальную пропускную способность канала связи:

(50)

Это фундаментальное соотношение, которое повсеместно используется на практике, поскольку определяет теоретически достижимое границы по скорости передачи, выше которых мы получить не можем. Передачи при фиксированных значениях мощности сигнала, мощности помехи и полосе пропускания, устанавливающих естественные ограничения по потенциальной пропускной способности канала связи.