- •Кислицын А.А. Физика атома, атомного ядра и элементарных частиц
- •Найдем уравнение, которому подчиняются волны
- •Свободной частице соответствует плоская волна
- •Это и есть искомое волновое уравнение для свобод-
- •Зависимость волновой функции от
- •Уравнение Шредингера
- •Приведенные рассуждения следует рас- сматривать как пояснения к тому, каким образом было установлено
- •Уравнение Шредингера содержит первую
- •Терминология
- •В частности, очень важным является условие нормировки: то, что частица где-то находит-
- •Терминология
Кислицын А.А. Физика атома, атомного ядра и элементарных частиц
9 (1). Уравнение Шредингера.
Найдем уравнение, которому подчиняются волны
де-Бройля. Сначала рассмотрим свободную нере-
лятивистскую частицу. Для такой частицы имеем уравнения де-Бройля (5.2) и (5.3):
E h ; |
p |
h |
hk |
|
|
||||
|
|
|
атакже формулу для кинетической энергии, которая
вданном случае совпадает с полной энергией, т.к. у свободной частицы потенциальная энергия = 0:
E T |
p2 |
|
1 |
px2 py2 pz2 |
h2 |
kx2 |
ky2 kz2 . |
||
2m |
|
|
|||||||
|
|
2m |
|
2m |
|
||||
Сравнивая оба выражения для энергии E, находим |
|||||||||
|
|
h |
h2 |
kx2 ky2 kz2 . |
|
||||
|
|
2m |
(9.1) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Свободной частице соответствует плоская волна
де-Бройля: |
Ae 2 i( t kr ) |
|
Продифференцируем эту формулу по t, x, y, z:
2 i i ; |
2 |
4 2kx2 ; |
|||||
t |
|
|
x2 |
|
|
||
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4 2k2 |
; |
|
4 2kz2 ; |
|||
z2 |
|||||||
y2 |
y |
|
|
|
и выразим отсюда , kx, ky, kz
|
|
1 |
|
|
1 |
|
; |
kx2 |
1 |
|
|
1 |
|
2 |
|||||||||
|
|
2 i |
t |
4 2 |
x2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
ky2 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
2 |
kz2 |
|
1 |
|
1 |
|
2 |
||||||||
|
4 |
2 y2 |
|
|
4 |
2 z2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя это в формулу (9.1), получаем:
ih |
|
h2 1 1 |
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|||
2 t |
2m 4 |
2 |
x |
y |
z |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
||||
i |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
t |
|
x |
y |
z |
2m |
|||||||||||
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
Это и есть искомое волновое уравнение для свобод-
ной нерелятивистской частицы (уравнение Шре-
дингера в простейшей форме):
i |
|
|
2 |
|
|
|
t |
2m |
(9.2) |
||||
|
|
|
Для частицы, движущейся в потенциальном поле ки- нетическая энергия T = E - U, поэтому уравнение (9.2) должно быть записано (обобщено) в виде:
i |
|
|
2 |
U |
|
|
t |
2m |
(9.3) |
||||
|
|
|
Это общее нестационарное (содержащее время) уравнение Шредингера (Schrödinger E., 1926 г., но- белевская премия 1933г) для частицы в потенци-
альном поле U.
Зависимость волновой функции от |
|
e i t |
e i |
E |
||||||
времени выражается множителем: |
|
t |
||||||||
Поэтому волновая функция может быть представ- |
||||||||||
лена в виде |
|
|
|
|
|
|
i |
|
||
|
(x, y, z,t) 0 (x, y, z)e |
|
Et |
|
||||||
откуда |
|
|
||||||||
|
|
i |
|
|
i |
|
|
|
||
|
|
E 0e |
|
|
Et |
|
|
(9.4) |
||
|
|
|
|
|
||||||
|
t |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Подставляя (9.4) в (9.2) и (9.3), находим: |
|
|
|
|||||||
0 |
2m E 0 0 |
и 0 |
2m2 (E U ) 0 0 |
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это стационарное (не зависящее явно от времени)
уравнение Шредингера для свободной частицы и для частицы в потенциальном поле U.
Уравнение Шредингера
Итак, запишем еще раз все четыре формы уравнения
Шредингера:
Нестационарное |
|
i |
|
|
|
|
2 |
(9.2) |
|
для свободной частицы |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
||||||
Нестационарное для |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
частицы в потенциаль- |
i |
|
|
U |
(9.3) |
||||
t |
|
2m |
|||||||
ном поле U |
|
|
|
|
|
|
|
||
Стационарное |
|
0 |
|
2m E 0 0 |
(9.5) |
||||
для свободной частицы |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Стационарное для |
0 |
2m |
(E U ) 0 0 |
|
|||||
частицы в потенциаль- |
(9.6) |
||||||||
ном поле U |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Приведенные рассуждения следует рас- сматривать как пояснения к тому, каким образом было установлено уравнение Шредингера, но не как “вывод” этого урав- нения. Как и все основные уравнения фи- зики (уравнения Ньютона, Максвелла и т.д.), уравнение Шредингера не “выводит- ся”, а устанавливается, являясь, по сущес- тву, обобщением опытных фактов. Спра- ведливость этого уравнения подтвержда- ется согласием результатов, получаемых с его помощью, с данными экспериментов.
Уравнение Шредингера содержит первую
производную по времени и вторые по
координатам. Поэтому никаких реальных
волн, распространяющихся в физической среде, оно не описывает. Это еще один (третий) аргумент против гипотезы волно-
вого пакета и подтверждение
статистичес-кой интерпретации волновой
функции:
2 dW dV
Терминология
Уравнение Шредингера в зависимости от
вида функции U может иметь решения, удовлетворяющие естественным услови- ям (конечности, однозначности, непре-
рывности, нормировки) либо при любых
значениях E, либо лишь при некоторых
дискретных значениях E.
Те значения E, при которых уравнение Шредингера имеет решение, называ- ются собственными значениями.