Аналитическая геометрия
I семестр
Системы координат
Координатной осью называется прямая, на которой:
Указано положительной направление.
Отмечено начало отсчёта.
З адана масштабная единица.
Направленным отрезком на прямой называют отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом и какая – концом. Обозначение: .
Величиной направленного отрезка будем называть его длину, взятую со знаком «+», если отрезок сонаправлен с координатной прямой и «–» - если нет. Обозначение: - величина, - длина.
Координатой точки A на координатной прямой называется величина отрезка .
Основное тождество: При любом расположении точек A, B и C справедливо тождество .
П усть, например, точки расположены так, как показано на рисунке. Тогда , , .
Пусть даны и . Тогда .
В силу основного тождества .
Прямоугольная декартова система координат на плоскости
П рямоугольной ДСК на плоскости называют две взаимно перпендикулярные координатные оси с общим началом и одинаковой масштабной единицей. Ox – ось абсцисс, Oy – ось ординат.
Координатой точки на плоскости называют пару чисел x и y, где . Записываются так: .
Простейшие задачи аналитической геометрии
Пусть даны две точки и . Найти расстояние между ними.
Согласно теореме Пифагора, .
Деление отрезка в данном отношении.
Говорят, что точка C делит отрезок AB внутренним образом, если C лежит внутри AB и внешним, если C лежит вне AB.
Говорят, что точка C делит отрезок AB в отношении , если . При этом, если , то , иначе .
Замечание: и .
Пусть даны две точки: и и пусть C делит AB в отношении . Найдём точку C. Пусть . Тогда по теореме Фаллеса , и .
Полярная система координат
П олярной системой координат называют точку O (полюс) и луч Ox (полярная ось), выходящий из этой точки с масштабной единицей.
П олярными координатами точки M называют пару чисел и , где - расстояние от M до полюса, - угол между радиус-векторами OM и Ox, отсчитываемый от полярной оси против часовой стрелки ( , ).
Связь между декартовыми и полярными координатами: , .
Векторная алгебра
Основные понятия:
Вектором называют отрезок прямой, если указано, какая из его граничных точек является началом, а какая – концом.
, если начало совпадает с концом.
Коллинеарными называют векторы, лежащие на параллельных прямых. Компланарными – лежащие на одной или параллельных плоскостях. Равными называют векторы сонаправленные и имеющие одинаковую длину. Противоположные – противоположно направленные и имеющие одинаковую длину. Ортом называют единичный вектор, сонаправленный с .
Линейные операции над векторами:
Сложение векторов выполняется по правилу треугольника или параллелограмма.
Умножение вектора на число.
Произведением вектора на число называют вектор такой, что и , если и , если . Если , то . У произвольное направление.
Линейной комбинацией векторов называют сумму произведений этих векторов на произвольные числа: .
Если является линейной комбинацией векторов , т.е. , то говорят, что разложен по векторам , а - разложение.
Базис. Координаты вектора в базисе
Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов: Для того чтобы и были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы .
Пусть . Тогда, по определению произведения вектора на число, .
Пусть . Тогда можно взять и , если и , если . Очевидно, что существует.
Л юбой вектор на плоскости может быть единственным образом по двум неколлинеарным векторам.
Из рисунка видно, что такое разложение существует. Докажем единственность. Действительно, , , следовательно
Пусть также , где . Вычтем из первого уравнения второе. Получим: . Т.к. , то , т.е. , что противоречит условию.
Любой вектор в пространстве может быть единственным образом разложен по трём некомпланарным векторам. Доказывается аналогично.
Совокупность векторов, обладающих двумя свойствами: любой вектор может быть выражен через эти вектора и это выражение будет единственным, называется базисом. Таким образом, базис образуют любые два неколлинеарных вектора на плоскости и любые три некомпланарных в пространстве.
Пусть - базис в пространстве и вектор . Тогда числа , и называют координатами вектора в базисе .
Базис образует аффинную систему координат.
Углом между векторами называют наименьший из углов, на который надо повернуть один вектор до совмещения с другим по приведения из к общему началу. Обозначение: .
Орт оси – единичный вектор, сонаправленный с осью.
Углом между вектором и осью называют угол между вектором и ортом оси.
- геометрическая проекция на ось l.
- скалярная проекция на ось l.
Свойства проекции вектора на ось:
.
.
.
Координаты вектора в прямоугольной декартовой системе координат
ДСК – частный случай аффинной системы координат.
Разложим по базису , который образует декартову систему координат и центр которого совпадает с началом вектора : . Здесь x, y и z – координаты вектора в базисе. Тогда , , .
Направляющие косинусы вектора в прямоугольной декартовой системе координат
Пусть , и - углы, которые образует с осями ДСК (Ox, Oy и Oz). Тогда , и называют направляющими косинусами . Пусть x, y и z – координаты вектора в ДСК. Тогда , , , , , , .
Линейные операции над векторами в аффинных координатах
Пусть , .
Свойства линейных операций:
.
.
.
для .
.
.
.
.
Пусть в пространстве выбран базис и пусть и . Тогда , , , . Таким образом, , .
Скалярное произведение
Скалярным произведением на называется число .
Второе определение: .
Оба определения равносильны, т.к. , .
Алгебраические свойства скалярного произведения:
.
.
.
, если , иначе .
Необходимое и достаточное условие ортогональности двух векторов: Для того чтобы и были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы .
Если или , то теорема справедлива, т.к. нулевой вектор имеет произвольное направление и .
Пусть . Тогда и, т.к. и , то , т.е. .
Пусть . Тогда .
Пусть задана прямоугольная декартова система координат и пусть и . Тогда , т.к. , и .
Векторное произведение векторов
Три вектора называют упорядоченной тройкой векторов, если указано, какой из них первый, какой второй и какой третий.
Некомпланарная тройка векторов , и называется правой (левой) если после приведения их к общему началу расположен по ту сторону от плоскости векторов и , откуда наикратчайший поворот от к кажется осуществляемым против (по) часовой стрелки.
Векторным произведение и называют вектор такой, что , , и векторы , и образуют правую тройку. Обозначение: .
Алгебраические свойства:
.
.
.
.
Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов: Для того чтобы , необходимо и достаточно, чтобы .
Пусть , и . Тогда , т.е. .
Пусть . Тогда .
Модуль векторного произведение равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах.
.
Выражение векторного произведения в ДСК
Если в ДСК и то . .
Смешанное произведение трёх векторов
Смешанным произведением векторов , и называют число .
Модуль смешанного произведения векторов равен объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах после приведения их к общему началу.
, где - орт .
Пусть в ДСК , , . Тогда .
Критерий компланарности трёх векторов: Для того чтобы векторы , и были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы .
В самом деле, это означает, что объём параллелепипеда, построенного на этих векторах после приведения их к общему началу, будет равен нулю, а это возможно только когда все три вектора лежат в одной или параллельных плоскостях, т.е. компланарны.
Двойным векторным произведением векторов , и называют вектор .
.