Раздел II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

1. Плоскость

Назовем нормалью к плоскости вектор, перпендикулярный к этой плоскости (рис. 22). Пусть известны координаты нормали:

n A,B,C .

нение, связывающее переменные x,y, z, которому удовлетворяют координаты всех точек данной поверхности и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности.

– это уравнение плоскости, проходящей через точку M0 x0, y0,z0

перпендикулярно вектору n A,B,C .

Основные виды уравнения плоскости

1) Уравнение плоскости, проходящей через точку M0 x0, y0,z0

перпендикулярно вектору n A,B,C (рис. 23)

A x x0 B y y0 C z z0 0.

56

N A,B,C

M0

Рис. 23

2) Общее уравнение плоскости

Ax By Cz D 0,

где A,B,C координаты нормали плоскости. Это уравнение полу-

чается из уравнения плоскости A x x0 B y y0 C z z0 0 после раскрытия скобок и обозначения D Ax0 By0 Сz0.

3) Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

лежат в плоскостиС, ито есть компланарны и их смешанное произведение равно нулю (рис. 24).

Рис. 24

4) Уравнение плоскости в отрезках

57

где a,b,c величины отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях Ox,Oy и Oz соответственно (рис. 25).

Z

c

b Y

a

X

Рис. 25

Частные случаи положения плоскости в пространстве

1. Если A 0 By Cz D 0 плоскость || оси Ox (рис.26).

58

Z

Y

X

Рис. 28

Если C D 0 Ax By 0 плоскость проходит через ось

Oz.

4. Если D 0 Ax By Cz 0 плоскость проходит через начало координат (рис. 29).

59

Z

Y

X

Рис. 29

5. Если A B 0 Cz D 0 плоскость || осям Ox и Oy

(рис. 30).

Z

Z

Y

X

Рис. 32

60

Уравнение x = 0 уравнение плоскости Oyz.

Взаимное расположение плоскостей

Пусть плоскости 1 и 2 заданы общими уравнениями

Взаимное положение плоскостей зависит от положения их нормалей.

1) 1// 2 нормали плоскостей параллельны, то есть

СибАДИ

2)1 2 нормали плоскостей перпендикулярны, то есть

n1 n2 A1A2 + B1B2 +C1C2 = 0 (рис.34).

n1 A1,B1,C1

1

n2 A2,B2,C2

2

Рис. 34

61