2471

ние а t Stt [формула (1.27)], найдем как первую производную функции S S t [формула (1.7)], воспользовавшись табл. П.1.1 и основными правилами дифференцирования (п. 1.1.2).

Как видим, результаты совпадают. Найдем далее ускорение a как первую производную скорости или как вторую производную перемещения S .

143

б) y y , следовательно, найдем сначала производную первого порядкаy :

y xe2x 1 e2x x e2x 2 e2x 1 2x .

Тогда производная второго порядка y будет найдена следующим образом:

y e2x 1 2x e2x 2 1 2x e2x 2 e2x 2 4x 2

4e2x 1 x .

1.2.2.Производные высших порядков неявно заданной функции

Пусть функция y f x задана неявно уравнением F x, y 0. Для нахождения производной первого порядка y воспользуемся правилом дифференцирования неявно заданной функции (п. 1.1.5), а именно продифференцируем это уравнение по переменной x и разрешим его относительно y . Продифференцировав далее по x первую производную y , получим вторую производную от неявно заданной функции. В нее войдут x, y, y . Подставляя уже найденное значение y в выражение второй производной y , выразим y через x и y.

Пример 1.16. Для неявно заданной функции 4x2 y3 2xy найти производную второго порядка yxx .

Решение. По правилу дифференцирования неявно заданной функции (см. п. 1.1.5) найдем yx, продифференцировав левую и правую части исходного равенства по переменной x, считая y функцией от x (y=y(x)).

144

Далее, в случае необходимости, в полученное выражение можно

1.2.3. Производные высших порядков функций, заданных параметрически

Пусть x и y заданы как функции некоторого параметра t:

x x(t),

y y(t).

Тогда, если первая производная (производная первого порядка)

yx определяется по формуле yx yt [формула (1.22)], то вторая про- xt

145

Решение. Найдем сначала yx [формула (1.22)].

Контрольные вопросы

1.Какие основные задачи, приводящие к понятию производной, вы знаете? В чем сходство всех таких задач?

2.Сформулируйте определение производной функции в точке и на интервале.

3.В чем заключается геометрический, физический и механический смысл производной?

4.Следует ли из условия непрерывности функции в точке ее дифференцируемость в этой точке?

5.Назовите основные правила дифференцирования.

6.Сформулируйте правило нахождения производной сложной функции.

7.Сформулируйте правило нахождения производной обратной функции.

8.Какое задание функции называют неявным и что необходимо сделать, чтобы найти производную неявно заданной функции?

9.По какому правилу считаются производные высших порядков для неяв-

но заданных функций?

10.Назовите формулы, позволяющие находить производные первого и второго порядков функций, заданных параметрически.

11.В чем заключается механический смысл производной второго порядка?

12.Сформулируйте понятие производной n-го порядка. Приведите примеры.

146

1.3. Дифференциал

Из анализа формулы (1.6) следует, что для нахождения производной f x функции y f x по определению необходимо совершить следующие действия:

1)задать некоторое значение x и приращение x [формула (1.1)];

2)найти f x и f x x ;

3)найти приращение y f (x x) f (x);

lim y. Этот предел, в случае его существования, и будет равен про-

x 0 x

изводной функции y f x , а именно lim y f x .

x 0 x

Таким образом, точное равенство между производной f x и от-

ношением y достигается лишь в пределе. Если предел «опустить»,

Можно сказать, что равенство в формуле (1.29) становится «точным в пределе» при x 0. Здесь выражение «точно в пределе» вовсе не означает, что при x 0 левая и правая части приближенного равенства совпадают (равны нулю), оно подчеркивает, что при малыхx левая и правая части (1.29) «почти равны» в том смысле, что их разность гораздо меньше самих этих выражений.

где − бесконечно малая функция более высокого порядка, чем x (это означает, что при x 0 стремится к нулю гораздо быстрее

x). Именно это мы имели в виду, говоря, что равенство y f x

x

является «точным в пределе»: само по себе отношение y , вообще

x

147

говоря, отлично от f x , но вот lim y f x , поскольку при ма-

x 0 x

лых x слагаемым , в силу его малости, в правой части равенства (1.30) можно пренебречь. Поэтому первое слагаемое равенства (1.30) f x x называют главной линейной частью приращения y.

Определение. Дифференциалом функции y f x в точке x

называется главная линейная часть приращения функции, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dy (или df x ).

Заметим, что слово «дифференциал» происходит от латинского «differentia» − «разность, различие, приращение». Русским словом «приращение» мы называем величины y и x, а латинским термином «дифференциал» – «почти приращения» dy и dx. Что не случайно, поскольку y и x имеют точные значения, тогда как dy и dx связаны с пределом (с некоторым приближением).

Рассмотрим функцию y x и найдем дифференциал независимой переменной x. Так как y x 1, то согласно предыдущей формуле dy dx x мы можем записать dx x, то есть дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной. Таким образом, формулу для дифференциала можно записать в виде

Следовательно, f x dy , а потому обозначение производной dx

dy можно рассматривать как отношение дифференциалов dy и dx. dx

Заметим, что понятие дифференциала и запись dy для производ- dx

ной были введены немецким ученым Готфридом Вильгельмом фон Лейбницем (1646 − 1716).

Пусть функция y f x дифференцируема в точке x0. Следова-

148

( x 0). Так как y f x0 x f x0 , то предыдущее равенство можно переписать в виде f x0 x f x0 f x0 x или

Формула (1.33) позволяет находить приближенные значения функции y f x в точке x x0 x по известному значению этой функции и ее производной в точке x0.

Пример 1.18. Найти дифференциал dy и приращение y функ-

ции y x2: а) при произвольных значениях x и x; б) при x 1,

x 0,01.

Решение

а) Найдем в общем виде приращение функции y и дифференциал dy.

y y x x y x x x 2 x2 x2 2x x x2 x2

2x x x2 .

dу y x x x2 x 2x x.

б) Подставив в полученные выражения приращения функции y и дифференциала dy значения x 1, x 0,01, получим

y 2 1 0,01 0,01 2 0,0201, dy 2 1 0,01 0,02.

Погрешность при замене y на dy равна 0,0001, составляет 0,5 %, и ею можно пренебречь. Таким образом, на данном примере нетрудно заметить, что при достаточно малых x справедливо приближенное равенство y dy, используемое при приближенных вычислениях.

Пример 1.18 наглядно иллюстрируется рис. 1.13. Действительно, функция y x2 выражает площадь квадрата со стороной x. Обозначим эту площадь S1 (S1=y(x)=x2). Зададим стороне квадрата x очень малое приращение x. В результате мы получим квадрат со стороной x+ x, площадь которого S2 может быть найдена по формуле

y S2 S1. На рис. 1.13 эта разность равна площади всей заштрихованной фигуры.

149

Дифференциал dy функции y x2 на рис. 1.13 численно равен сумме площадей двух прямоугольников со сторонами х и x. Действительно, согласно нашим предыдущим вычислениям dy 2x x, но величина x x численно равна площади прямоугольника со сторонами х и x. Таких прямоугольников у нас 2, поэтому сумма их площадей равна 2x x.

Тогда из рис. 1.13 видно, что площадь всей заштрихованной фи-

гуры, численно равная приращению функции y 2x x x2 , отличается от суммы площадей двух прямоугольников со сторонами х и x, численно равной дифференциалу функции dy 2x x, на величину площади квадрата со стороной x. Так как величина x достаточно мала, то эта разница незначительна, и ею можно пренебречь. В результате будет справедливо приближенное равенство: y dy.

Пример 1.19. Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение 324.

Решение. Воспользуемся формулой приближенных вычислений

(1.33): f x0 x f x0 f x0 x.

Рассмотрим функцию f x 3x. Ближайшее к 24-м значение x, для которого можно найти точное значение данной функции, равно

27. Пусть x0 27 f x0 f 27 327 3.

Так как x 24, а x0 27, то x x x0 24 27 3.

Чтобы воспользоваться формулой (1.33), нам осталось вычислить значение f x0 . Для этого найдем f x :

f x 3x x13 1 x 233

150

1.3.1.Геометрический и механический смысл дифференциала

1.Геометрический смысл дифференциала.

Для того чтобы исследовать геометрический смысл дифференциала, проведем к графику функции y f x в точке M x;y касательную l и рассмотрим ординату этой касательной для точки Q, абсцисса которой равна x x (рис. 1.14).

На рис. 1.14 MQ1 x, M1Q1 y. Рассмотрим прямоугольный

определением дифференциала [формула (1.31)], приходим к выводу,

что NQ1 dy.

Рис. 1.14. Геометрический и механический смысл дифференциала первого порядка

Таким образом, дифференциал функции y f x в точке x равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в рассматриваемой точке, когда x получает приращение x. Именно в этом заключается геометрический смысл дифференциала.

2. Механический смысл дифференциала.

Понятию дифференциала можно также придать механический смысл. Предположим, что на рис. 1.14 абсцисса x − это время [сверху

151

над осью Ох (t)], а ордината y − путь (S). Нас интересует процесс изменения пути с течением времени: y f x . Представление о постоянно меняющейся под влиянием каких-то сил скорости не слишком просто, поэтому при изучении движения в окрестности какого-то момента времени (положение тела в этот момент на графике движения изображено точкой М) удобно считать, что, начиная с этого момента, скорость перестала меняться (это предположение равносильно гипотезе о том, что в рассматриваемый момент времени мы «отключили» все действующие на тело силы, предоставив ему далее двигаться по инерции, то есть с постоянной скоростью). Тогда, начиная с этого момента x, скорость все время будет оставаться равной мгновен-

ной скорости x dy в момент x (или dS в момент времени t), и

Таким образом, механический смысл дифференциала заключа-

ется в том, что он равен пути, который прошла бы материальная точка за очень малый промежуток времени t, если бы ее движение стало равномерным, со скоростью, взятой в момент времени t.

На рис. 1.14 равномерному движению тела соответствует прямая l, в то время как графиком исходного, неравномерного движения, служит кривая y f x . При малых x этот предполагаемый путь NQ1 dy (или dS) будет отличаться от истинного пути M1Q1 y (или S ) весьма мало, а именно на малую величину NM1 более высокого порядка, чем PQ x (или t).

Именно в таком «механическом» обличии появился дифференциал у Ньютона, который назвал его термином «момент».

1.3.2. Свойства дифференциала

Задача нахождения дифференциала функции равносильна нахождению производной, так как, умножив производную на дифференциал аргумента, получим дифференциал функции.

Следовательно, большинство теорем и формул, относящихся к производным, сохраняют свою силу и для дифференциалов.

Пусть u u(x), (x) − дифференцируемые в точке x функции, тогда непосредственно из определения дифференциала и основных правил дифференцирования (п. 1.1.2) следует:

152