2471

1. 2 4KM 0, следовательно, характеристическое уравнение

где С1, С2 − константы.

3. 2 4KM 0, следовательно, характеристическое уравнение имеет 2 комплексных сопряженных корня

В этом случае решение уравнения (3.24) будет иметь вид (см.

где С1, С2 − константы.

Усложним задачу тем, что нижняя точка пружины амортизатора совершает вертикальное движение по закону z = (t). Нижний конец

203

пружины (амортизатора) прикрепим к колесу автомобиля, которое вместе с пружиной движется по неровности (рис. 3.3).

Рис. 3.3. Движение пружины с грузом и колеса по неровной дороге

В этом случае восстанавливающая сила будет равна не К у, а −К [у + (t)], сила сопротивления будет λ [у/+ /(t)] и вместо уравнения (3.23) получим уравнение

После преобразования выражения (3.25) получим

где f (t) [К (t) / (t)]/ .

Полученное выражение (3.26) является неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка. Уравнение (3.24) представляет собой уравнение свободных колебаний, а уравнение (3.26) уравнение вынужденных колебаний.

204

Контрольные вопросы

1.Дайте определение обыкновенного дифференциального уравнения.

2.Что такое порядок дифференциального уравнения?

3.Что называют решением дифференциального уравнения?

4.В каких областях знаний применяются дифференциальные уравнения?

5.Приведите примеры задач, приводящих к дифференциальным уравнени-

ям.

6.Уравнения какого вида называются уравнениями с разделяющимися пе-

ременными? Каким образом находят решения уравнений с разделяющи-

мися переменными?

7.Какие уравнения называют линейными дифференциальными уравнения-

ми первого порядка?

8.В чем заключается метод Бернулли решения линейных дифференциаль-

ных уравнений первого порядка?

9.На какие два вида делятся линейные дифференциальные уравнения пер-

вого порядка? От чего это зависит?

10.Уравнения какого вида называют дифференциальными уравнениями n-го порядка?

11.Функцию какого вида называют решением дифференциального уравне-

ния n-го порядка?

12.Какие уравнения называют линейными дифференциальными уравнения-

ми n-го порядка? В зависимости от чего они делятся на однородные и неоднородные?

13.Опишите алгоритм решения линейного однородного дифференциального уравнения. Что такое характеристическое уравнение и как оно стро-

ится?

14.Опишите, каким образом находят решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка.

15.Приведите пример линейного однородного и линейного неоднородного дифференциальных уравнений, описывающих свободные и вынужденные колебания пружины при работе амортизатора. Для какой цели служит амортизатор, назовите принцип его работы?

205

4.ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ПОРШНЯ

СПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ

Вдвигателях внутреннего сгорания процессы наполнения, сжатия, сгорания и выпуска отработавших газов являются неустановившимися и протекают за короткое время. Например, процесс сгорания топлива в цилиндре быстроходного двигателя протекает за время менее 0,002 с. Давление газов в цилиндре и его температура изменяются во времени. Скорость изменения любого процесса во времени можно оценить при помощи производной.

Для понятия производной рассмотрим движение толкателя 2 при вращении вала без кулачка и с кулачком (рис. 4.1). Толкатель применяют, например, для перемещения (открытия и закрытия) клапана ме-

ханизма газораспределения двигателя.

а) б)

Рис. 4.1. Механизмы привода толкателя

Из анализа рис. 4.1, а следует, что при вращении вала 1 путь толкателя 2 и его скорость будут равны нулю (наружная поверхность вала симметрична относительно оси вращения). Толкатель неподвижен даже при вращении вала, и производная постоянного числа будет равна нулю. На рис. 4.1, б показан вал 1, выполненный с кулачком. При вращении вала кулачок приводит в поступательное движение толкатель, изменяя его путь с учетом профиля. При этом изменяется и скорость толкателя 2. Скорость толкателя является первой производной пути по времени. В зоне вала, где нет кулачка, путь не изменяется, скорость толкателя и «производная» равны нулю.

В гл. 1 настоящего пособия было дано понятие производной функции в точке. Напомним его применительно к рассматриваемой ситуации. Итак, производной функции y f x в точке хо называется предел отношения приращения функции (например, перемещения

206

толкателя) y y1 y0 к приращению аргумента (например, углу поворота вала или времени) x x1 x0. При этом значение x1 стремится к величине хо, а приращение аргумента стремится к нулю (очень малой величине), но не достигает значения, равного нулю.

Физический смысл производной – это скорость изменения процесса, а геометрический – тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в указанной точке к оси Ох (гл. 1). Тангенс угла в прямоугольном треугольнике это отношение противолежащего катета (например, приращения функции) к прилежащему (например, приращению аргумента).

4.1. Определение пути поршня

Центральным кривошипным шатунным механизмом (КШМ)

называется механизм, у которого ось цилиндра пересекает ось коленчатого вала. При помощи этого механизма давление газов в цилиндре двигателя передается на площадь поршня и его поступательное движение преобразуется во вращательное движение коленчатого вала (рис. 4.2). Работа газов (Дж) равна произведению давления в цилиндре (Н/м2) на изменение объема (м3).

Изменение направления движения поршня в цилиндре происходит в верхней и нижней мертвых точках. В мертвых точках скорость поршня равняется нулю, а ускорение достигает максимальной величины.

Отрезок ОВ является радиусом R

кривошипа, BA равен длине шатуна L, а угол поворота коленчатого вала

(см. рис. 4.2).

Верхней мертвой точкой (ВМТ)

называют крайнее положение поршня, при котором он максимально удален от оси коленчатого вала (точка А).

Нижней мертвой точкой (НМТ)

называют крайнее положение поршня в цилиндре, при котором он минимально

удалён от оси коленчатого вала (точка A ).

207

Ходом поршня называется расстояние по оси цилиндра между мертвыми точками. По величине полный ход поршня равен двум радиусам кривошипа Sn 2R.

Величина это угол отклонения оси шатуна от оси цилиндра.

Значение R это отношение радиуса кривошипа к длине шатуна

L

(конструктивный параметр двигателя). Для современных двигателей величина может находиться в пределах 1/3 − 1/4.

Зависимость между углом поворота коленчатого вала (град) и соответствующим ему временем t (с) выражается формулой

где ω угловая скорость вращения коленчатого вала, c 1; n частота вращения коленчатого вала, мин-1.

Определим зависимость перемещения поршня от угла поворота коленчатого вала. Принимаем за исходное положение КШМ такое, при котором поршень находится в ВМТ (см. рис. 4.2 точка А).

Вынесем значение R за скобку

S R [(1 L) (cos L cos )].

R R

ных и даны в приложении [31].

Путь поршня может быть определен графическим способом. Для этого вычерчивают в определенном масштабе (например, 1:1) КШМ при положении кривошипа и шатуна на оси цилиндра. Поворачивают кривошип на угол, соответствующий 100, вычерчивают КШМ в новом

208

положении и определяют путь, пройденный поршнем. Затем кривошип поворачивают ещё на 100 (до 3600) и во всех точках определяют путь поршня. Строят график зависимости пути поршня от угла поворота коленчатого вала, который необходим для определения давления в цилиндре в координатах P-V и перестроения индикаторной диаграммы в координаты Р- .

4.2. Определение скорости поршня

Скорость поршня для любого угла поворота коленчатого вала является первой производной от его перемещения по времени (гл. 1). Функция S S , выражающая перемещение поршня, является сложной, поскольку − угол поворота коленчатого вала, зависит от

где d угловая скорость вращения коленчатого вала в рассмат- dt

Напомним, что производная константы равна нулю, производная

cos sin ; sin cos (см. табл. П.1.1).

Так как текущий путь поршня определяется выражением

209

С учетом полученного равенства и того, что d , формулу

Численные значения выражения B sin( ) для различных веcos

личин λ и φ приведены в работе [31].

Степень быстроходности двигателей определяется по средней скорости поршня (табл. 4.1).

По средней скорости поршня Vср, площади поршня Fп, выбранной площади впускного трубопровода Fвп (в 3 − 4 раза меньше Fп) находят скорость во впускном трубопроводе:

Определив величину Vвп , вычисляют потери давления в линии всасывания и величину давления в конце такта впуска. В линии всасывания потери давления происходят в основном в воздушном фильтре и в зоне впускного клапана.

210

4.3. Определение ускорения поршня

Напомним, как уже было показано ранее в гл. 1 [формула (1.27)] настоящего пособия, ускорение является первой производной скорости. Поэтому ускорение поршня является первой производной от его скорости по времени. В процессе дифференцирования необходимо помнить, что функция V V , выражающая скорость поршня, явля-

ется сложной, поскольку − угол поворота коленчатого вала, зави-

сит от времени t [формула (4.1)]. То есть V V t , а потому

В процессе вычислений мы воспользовались формулами косинуса суммы и синуса суммы двух углов:

cos cos cos sin sin ;

sin sin cos cos sin .

Таким образом,

Из равенства (4.7) следует

211

ты [31].

Численное значение ускорения поршня необходимо для определения сил инерции от поступательных масс КШМ и расчета на прочность деталей двигателя. Для расчета сил инерции от поступательно движущихся масс Pj используют выражение

где mпос масса от поступательных частей, равная массе поршня в комплекте и 1/3 массы шатуна.

Графики пути, скорости, ускорения поршня удобнее строить, заполнив табл. 4.2, в которой указаны расчетные коэффициенты А, В, С, абсолютное значение пути, скорости, ускорения поршня и их значения с учетом выбранного масштаба.

Вкачестве примера рассмотрим двигатель с 13,8, R = 0,05 м, частотой вращения коленчатого вала 6000 мин-1, угловой скоростью

628с 1 и частично заполним табл. 4.2.

Втабл. 4.2 S ,V ,J − значения пути, скорости и ускорения поршня, которые заносятся в таблицу с учетом выбранного масштаба.

212