Добавил:

Upload2020 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет экономики и торговли им. М. Туган-Барановского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

методичка_линейка _2_

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.11.2020

Размер:

1.52 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 166 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Решение.

17i

а)

=15(cos

+i sin

) ,

z1z2 =3e 5

5e6 =15e 30

3e 5

e30 =

(cos

+i sin

)

5e6

б) z1 z2

= e3−7i ×e−4+5i

= e−1−2i

= e−1 (cos(-2) + i sin(-2)),

= e7−12i

= e7 (cos12 −i sin12) .

4. Вычислить: а) z 4 , б)

, где z = 2e−3i .

Решение:

а) z 4 = (2e−3i )4

= 16e−12i = 16(cos12 - i sin12) » 16(0.8438+ 0.5366i) ,

−3+2πk i

б)

−3i

= uk ,

k = 0,1, 2, 3, 4

= 5

−3i

= 5

- i sin

) » 0.95 - 0.65i ,

2e 5

(cos

−3+2π i

» 0.91

+ 0.70i ,

−3+4π i

» -0.39 +1.08i ,

−3+6π i

» -1.15 - 0.03i ,

−3+8π i

» -0.33 -1.10i.

Пример. Решить уравнение z3 = 27i .

z =

eiϕ

iπ

z3 =

3 ei3ϕ . Тогда

3 ei3ϕ

iπ

, i = e 2 ,

= 27e 2 .

3 = 27

= 3

3ϕ = π

ϕ = π

ϕ =

2π

ϕm

= π +

2π

m, m = 0,1, 2

i(π +

2π

= 0,1, 2;

= 3e

, m

ϕ			= π , ϕ =		5π			,ϕ		=	3π	;
ϕ		0	= π , ϕ =					,ϕ	2	=		;
		0	6	1	6				2	2
			6	π	6					2			5π
			= 3ei	π			+i, z = 3ei						5π					= 3ei	3π
				6 =									6	= −		+i, z			2	= 3i
z	0			6 =		3							6	= −	3	+i, z	2		2	= 3i
	0									1							2

Теория комплексных чисел может быть использована при решении геометрических задач на плоскости; и обратно, факты геометрического характера позволяют доказывать некоторые соотношения и тождества для комплексных чисел.

Пример.

1. Пусть

= c . Доказать, что

z1 + z2

2 +

z1 − z2

2 = 4c2 .

2 = z ×

, то

Поскольку

z + z

2 +

z − z

2 = (z + z

)(

) + ( z − z

)(

) =

z + z

z − z

=(z1 + z2 )(z1 +z2 ) +(z1 −z2 )(z1 −z2 ) = z1 z1 +z2 z2 +(z1 z2 +z2 z1 ) +

) =2

=4c2

+z z +z

−(z z2

Геометрически этот факт означает, что сумма квадратов длин диагоналей ромба равна сумме квадратов длин всех его сторон.

Рис. 3.2. Использование теории комплексных числе при решении геометрических задач

Действительно, точки плоскости, соответствующие комплексным числам 0, z1, z2 и z1 + z2 , являются вершинами ромба,

z1 + z2

z1 − z2

для которого

– длины его сторон, а

–

длины его диагоналей.

Пусть

z1, z2 , z3 , z4 – различные комплексные

числа

Доказать,

что

z1 − z3

z2 − z4

z1 − z2

z3 − z4

z1 − z4

z2 − z3

Имеем:

(z1 − z2 )(z3 − z4 )

(z1 − z4 )(z2 − z3 )

z1 − z2

z3 − z4

z1 − z4

z2 − z3

(z1 − z 2 )(z3 − z 4 )+ (z1 − z 4 )(z 2 − z3 )

(z1 − z2 )(z3 − z4 )

т. к. число

вещественно и положительно (докажите

(z − z

)(z

− z

)

это самостоятельно). Кроме того,

(z1 − z2 )(z3 − z4 )+ (z1 − z4 )(z2 − z3 ) =

= − z1 z4 − z2 z3 + z1 z2 + z4 z3 = (z1 − z3 )(z2 − z4 ) = z1 − z3 z2 − z4 .

Доказанное равенство известно в планиметрии как теорема Птолемея: произведение длин диагоналей выпуклого вписанного в окружность четырехугольника равно сумме парных произведений длин его противолежащих сторон.

Контрольные вопросы к теме

1.Чем комплексное число отличается от действительного?

2.Как найти сумму двух комплексных чисел?

3.Какие действия можно выполнять с комплексными числами

втригонометрической форме?

4.Можно ли комплексное число в показательной форме преобразовать в комплексное число в тригонометрической форме?

5.Запишите формулу деления комплексных чисел.

6.Какое геометрическое изображение имеют комплексные

числа?

7.Как найти модуль тригонометрического числа?

8.Как найти аргумент тригонометрического числа?

9.Запишите формулу умножения комплексных чисел в показательной форме.

10.Как извлечь корень из комплексного числа?

Задания для самостоятельного решения

1. По заданным числам	z , z		найти	z	+ z	2	, z × z		,	z1	.
	1	2		1		2	1	2		z2
										z2

2.Записать показательную форму числа z1.

3.Записать тригонометрическую форму числа z2 .

																																						3.			z1 = 1 + 3i
1.			z1				= 1−							3	i				2.					z1 = −2+									3		i			3.			z1 = 1 + 3i

													2							1												2						z2 = −				3 − 2i
				1									2																			2						z2 = −				3 − 2i
		= −				+							i						z2 =				− i
z 2											3
z 2											3									2
		2																		2
																	1		5.					z1		=				4 + i
4.			z1					= 2 –									1	i	5.					z1		=				4 + i								6.			z1 = 1+					2	i
																	2
																																														2
																			z =		5 –						2			i
																																								= −4 − i
																																						z2
													2

z2 = – 3							+												2							3
																			2
																i
																i
							2
			z1 =									- i																			1
7.										3									8.					z1		= −					1			− 2i				9.			z = 1 +								2	i
7.										3																																							2

		=	1		+ 2i																								2												1						3
z2																					1					1																					3

																			z2 =					−				i										z2 = - 3 - 2i

		2																		3						2
																				3						2
10.			z1 = 2 – 3i																																	3					z1 = 2 +
																			11.					z1		=			3			–				3	i	12.										3i
																			11.					z1		=			3			–				5	i	12.										3i
z = – 5 +														3					z2 =																	5				= − 2 −				1
z = – 5 +														3		i						– 3 – 5i																z		= − 2 −				1	i
	2												2									– 3 – 5i																	2		2
	2																																						2

																										= −						1		− i				15.			z1 = 2 + 3i
13.			z1				= 2 +						3				i		14.					z1								1
													3

													2						z2 = −				3		−							2						z2		= -			3 - 2i
													2																									z2		= -			3 - 2i
																													3i
z	2	= −3 −					3		i
							3
																								2
							2																	2

Тестовые задания

1. Аргумент комплексного числа Варианты ответов:

а) расстояние от начала координат до точки, в виде которой отображается комплексное число; б) мнимая единица;

в) угол, который радиус-вектор от начала координат до точки, в виде которой отображается комплексное число, образует с осью Ox;

г) само комплексное число без учёта знака.

2.К записи комплексного числа в тригометрической форме не имеет отношения Варианты ответов:

а) аргумент комплексного числа б) сумма координат точек, в виде которой отображается комплексное число в) модуль комплексного числа г) мнимая единица.

3.Комплексное число в координатной форме можно задать: Варианты ответов:

а) углом, который радиус-вектор от начала координат до точки, в

виде которой отображается комплексное число, образует с осью Ox;

б) парой действительных чисел; в) парой целых чисел, одно из которых положительное, другое – отрицательное;

г) упорядоченным набором любых чисел.

4.При умножении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме:

Варианты ответов:

а)аргумент произведения равен произведению аргументов сомножителей; б)модуль произведения равен произведению модулей сомножителей;

в) меняются знаки при мнимой части; г) всё вышеперечисленное верно.

5.Комплексные числа были введены для получения дополнительных возможностей при решении:

Варианты ответов:

а) систем линейных уравнений; б) производных тригонометрических функций;

в) уравнений кривых второго порядка; г) квадратных уравнений.

6.Два комплексных числа нельзя соединять:

Варианты ответов:

а) знаком равенства; б) знаком разности; в) знаком неравенства; г) знаком деления.

7.При делении двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме:

Варианты ответов:

а) аргумент частного двух комплексных чисел получается вычитанием аргумента делителя из аргумента делимого; б) модуль частного двух комплексных чисел равен разности модуля делимого и модуля делителя;

в)из каждой координаты делителя вычитается соответствующая координата делителя; г) всё вышеперечисленное неверно.

8.Если комплексное число задано в тригонометрической форме, то для возведения его в степень используется:

Варианты ответов:

а) формула бинома Ньютона; б) правило Лопиталя; в) теорема Лапласа; г) формула Муавра.

9.Сколько значений существует у корня n-й степени (отличной от нуля) из комплексного числа?:

Варианты ответов:

а)n;

б) i/n;

в) числу, равному модулю комплексного числа;

г) координате x точки, отображающей комплексное число. 10. Верно, что число, сопряжённое с комплексным числом a: Варианты ответов:

а) равно данному числу a;

б) отличается от числа a лишь знаком при мнимой части; в) не является комплексным числом;

г) равно данному числу a, деленному на некоторый коэффициент, который следует из условия задачи.

ТЕМА 4 ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ

4.1. Теоретический базис основной теоремы алгебры

Не только уравнения вида ах2 + bх + с = 0 или хn − 1 = 0 разрешимы в поле комплексных чисел, но можно утверждать гораздо больше. Для случая уравнений 3-й и 4-й степеней эта теорема была установлена в XVI в. Тартальей, Кардано и другими. Оказалось, что такие уравнения решаются посредством формул, подобных формуле квадратного уравнения, но значительно более сложных. В течение почти двух столетий длилось настойчивое изучение общего уравнения 5-й и более высоких степеней, но все усилия разрешить их теми же методами оказались напрасными. Когда молодому Гауссу в его докторской диссертации (1799) удалось впервые доказать, что решения существуют, то это уже было крупнейшим успехом; правда, вопрос о возможности обобщить на случай степеней ≥5 классические формулы, позволяющие находить корни с помощью рациональных операций и извлечения корней, оставался в то время открытым.

4.2. Доказательство основной теоремы алгебры

Теорема Гаусса утверждает, что, каково бы ни было алгебраическое уравнение вида

f (х)	= х + а	хn−1 + а	хn−2 + .. . + а х + a = 0		,	(4.1)
	n n−1	n−2	1	0	,	(4.1)

где n– целое положительное число, а коэффициенты а - действительные или даже комплексные числа, существует, по

крайней мере, одно такое комплексное число α = с + di , что

f (α ) = 0 .

Число α называется корнем уравнения (4.1).

Предположим пока, что теорема доказана, и выведем из нее другую теорему, известную под названием основной теоремы алгебры (было бы, впрочем, правильнее назвать ее основной теоремой комплексной числовой системы):

Всякий многочлен, степень которого не меньше единицы, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.

Другими словами, всякий алгебраический полином степени n

f (x)	= xn + a	xn−1 + ... + a x + a		(4.2)
	n−1	1	0	(4.2)

может быть представлен в виде произведения ровно n множителей:

f (x) = (x	− α1 )(x − α2 )...(x − αn ),(4.3)
где α1, α2 , ..., αn	- комплексные числа, корни уравнения f (õ)						= 0 .
Пример.	Полином f	(x )	= х4 − 1 разлагается на множители
следующим образом: f (х)		=	(х − 1)(x − i)(х + i)(х + 1).
Что числа α являются корнями уравнения					f (х)	= 0 , это
очевидно из самого разложения (3), так как при				х	= αr	один из
множителей	f (х), а следовательно, и сам				полином		f (х)
обращаются в нуль.
В иных случаях не все множители x − α1, х				− α2 , ... полинома
f (х) степени n оказываются различными.
Пример.	f (x) = х2 − 2х + 1 = (x − 1)(x − 1)

мы имеем только один корень х = 1, "считаемый дважды", или "кратности 2". Во всяком случае, полином степени n не может разлагаться в произведение более чем n различных множителей вида х − α , и соответствующее уравнение не может иметь более n корней.

При доказательстве основной теоремы алгебры мы воспользуемся алгебраическим тождеством

хk − α k =	(х − α )( хk −1 + α хk −2 + α 2 хk −3 + ... + α k −2 х + α k −1 ) ,	(4.4)
которое	при α = 1 служило нам для определения	суммы

геометрической прогрессии. Предполагая теорему Гаусса доказанной, допустим, что α = α1 есть корень уравнения (4.1), так что

хk − αk = f (α )	=αn	+ a α n−1	+ a			α n−2 + ... + a α + а			= 0.
1	1	n−1 1		n−2 1			1 1	0
Вычитая это выражение из f (х) и перегруппировывая члены,
мы получим тождество
f (x) = f (x) − f (α )		= (xn −α n )	+ a		n−1	( xn−1 −α n−1)	+ ... + a	(x	− α ). (4.5)
	1	1			n−1	1	1		1
			57

y = αr

y − αr

Пользуясь теперь формулой (4.4), мы можем выделить множитель х - α1 из каждого члена и затем вынести его за скобку, причем степень многочлена, остающегося в скобках, станет уже на единицу меньше. Перегруппировывая снова члены, мы получим тождество:

f (х)	= (х − α1 )	g (х),	(4.6)
			(4.6)

где, g (õ) - многочлен степени n-1:

g(x) = xn−1 +bn−2 xn−2 + ... + b1x + b0 .

(Вычисление коэффициентов, обозначенных через b, нас здесь не интересует). Применим дальше то же рассуждение к

многочлену g	(x). По теореме Гаусса существует корень
α2 уравнения g	(х) = 0, так что g (х) = (x − α2 ) h (x), где h (х) -

новый многочлен степени уже n-2. Повторяя это рассуждение n-1 раз (подразумевается, конечно, применение принципа математической индукции), мы, в конце концов, приходим к разложению

f (х) = (х − α1 )(х − α2 )(х − α2 )...(х − αn ).(4.7)

Из тождества (4.7) следует не только то, что комплексные числа α1, α2 , ..., αn корни уравнения (4.1), но и то, что иных

корней уравнение (4.1) не имеет. Действительно, если бы число у было корнем уравнения (4.1), то из (4.7) следовало бы

f (y)	= (y − α2 )(y − α2 )...(y − αn )	= 0.	(4.8)
			(4.8)

Но мы видели, что произведение комплексных чисел равно нулю в том и только в том случае, если один из множителей равен нулю. Итак, один из множителей равен 0, т. е. , что и требовалось установить.

Контрольные вопросы к теме

1.Сформулируйте основную теорему алгебры.

2.Сколько корней имеет многочлен второй степени?

3.Какое максимальное количество корней имеет многочлен степени n?

4.Что такое корень уравнения?

5.Кто доказал основную теорему алгебры?

6.Всякий ли алгебраический полином степени N может быть представлен в виде произведения ровно n множителей?

7.Могут ли комплексные числа быть корнями многочлена?

8.Как определить степень многочлена?

9.В каком случае произведение комплексных чисел равно

нулю?

10.Сформулируйте теорему Гаусса.

Задание для самостоятельной работы

Составить многочлен наименьшей степени с действительными коэффициентами, имеющий корни α1,α2,α2 определённой кратности

1. α1 = −i − 2 второй кратности, α2 = −2 и α3 =5 +i второй кратности.

2. α1 = −i + 3 третьей кратности, α2 = −4 второй кратности и α3 =5 −i .

3. α1 = −2i +1 третьей кратности, α2 = −2 и α3 = −5 −i .

4. α1 = −2i −3 , α2 =8 второй кратности и α3 =5 −i третьей кратности.

5. α1 = −i − 2 , α2 = −2 второй кратности и α3 =5 +i третьей кратности.

6. α1 = −i −1 второй кратности, α2 =1 и α3 = −i второй кратности.

7. α1 = −2i +1 второй кратности, α2 = −2 второй кратности и α3 = −6 .

8. α1 = −2 +3i второй кратности, α2 = −4 и α3 = −4 второй кратности.

9. α1 = −4 +i второй кратности, α2 = −3 и α3 =5 третьей кратности.

10. α1 = −5 , α2 = 3 − 4i второй кратности α3 =5 третьей кратности.

11. α1 = −2 второй кратности, α2 =2−i и α3 =7 второй кратности.

12. α1 = −1 второй кратности, α2 = 7 −3i и α3 =7 второй кратности.

13. α1 =5 третьей кратности, α2 = 3 + 4i второй кратности α3 = −2 .

14. α1 = −3 второй кратности, α2 = −3 +i второй кратности и α3 = −1 .

15. α1 =4 второй кратности, α2 = −1+7i второй кратности и α3 = −4 .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 166 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.20201.52 Mб17методичка_линейка _2_.pdf
#
03.11.202055.57 Кб2ссылки.pdf