Добавил:

Upload2020 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет экономики и торговли им. М. Туган-Барановского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

методичка_линейка _2_

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.11.2020

Размер:

1.52 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 163 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

								A11 =				3	3		= 9,			А	= -			1		5		= 1,	A31 =		1			5		= -12,
																		А	= -			1		5		= 1,
																		21				1		4
																		21
												1	4																3			3
																			=		3 5				= 2,


								A12	= -			2 3				= -2,		А22									A32	= -			3 5					=1,
												2 3						А22													3 5
												2	4								2 4										2		3
												2	4									3 1									2		3
								A =			2 3			= -4,				А = -				3 1				= -1,	A =			3 1					= 7.
								13			2		1					23				2		1			33			2			3
											2		1									2		1						2			3
			На основании формулы (5) находим
							9		1 -12								9 / 5			1/ 5						-12 / 5
A−1 =				1	×		- 2 2									=	- 2 / 5 2 / 5
				1									1													1/ 5 .
													1													1/ 5 .
			5
			5				- 4		-1				7				- 4 / 5		-1/ 5							7 / 5
							- 4		-1				7				- 4 / 5		-1/ 5							7 / 5
			Выполним проверку:
						1		9	1 -12							3 1			5				1			27 + 2 - 24 9 + 3 -12 45 + 3 - 48
A−1 × A =						1																	1
							×	- 2 2					1			× 2 3			3	=				×		- 6 + 4 + 2 - 2 +							6 +1 -10 + 6 + 4				=
						5	×	- 2 2					1			× 2 3			3	=			5	×		- 6 + 4 + 2 - 2 +							6 +1 -10 + 6 + 4				=
						5		- 4	-1 7								2 1						5			-12 - 2 +14 - 4 -							3 + 7 - 20 - 3 + 28
								- 4	-1 7								2 1		4							-12 - 2 +14 - 4 -							3 + 7 - 20 - 3 + 28
	1		5			0		0		1			0			0
	1
=		× 0				5 0			= 0 1							0	= E.
=	5	× 0				5 0			= 0 1							0	= E.
	5		0			0				0			0			1
			0			0		5		0			0			1

Следовательно, обратная матрица A-1 найдена правильно. Для невырожденных матриц выполняются следующие свойства:

1. A−1 = 1 ;

2.(Am )−1 = (A−1 )m ; ;

3.(A−1 )−1 = A;

4.(AB)−1 = B−1A−1 .

	Пример.			Найти обратную матрицу	A − 1	методом
элементарных преобразований, если
	2	2	3
		-1
A =	1	-1	0	.
	-1	2
	-1	2	1

Решение. По схеме составим матрицу

1		0	0	2	2	3
	0	1	0	1	−1	0
							,
	0	0	1	−1	2
						1

А потом при помощи элементарных преобразований над её строками проводим правую часть к единичной матрице Е.

После первого шага получим матрицу

0	1	0	1	−1	0

1	−2	0	0	4	3

0	1	1	0	1
					1

(поменяли местами первую и вторую строки; третью строку прибавили к первой; умножили первую строку на (-2) и добавили её ко второй строки).

После второго шага (поменяли местами вторую и третью строчки, допервой строки добавили второй; с третьего отняли вторую строчку, умноженный на 4) имеем:

0	2	1	1		0		1

0	1	1	0		1		1 .
1	−6 −4
				0 0 −1
	Наконец, после третьего шага получаем
1	−4	−3		1	0	0

1	−5	−3		0	1	0

−1	6	4		0	0	1

(добавили к первому и второму строк третий, а потом умножили третью строчку на (-1)).

			1	−4	−3
Итак, A	−1			−5	−3
Итак, A		=	1	−5	−3	.
			−1	6	4
			−1	6	4

Контрольные вопросы к теме

1.Что такое матрица?

2.Какая матрица называется диагональной?

3.Какая матрица называется квадратичной?

4.Какая матрица называется единичной?

5.Назовите основные свойства определителей.

6.Что такое определить второго порядка?

7.Как найти определитель 4 порядка?

8.Сформулируйте правило Саррюса.

9.Что такое обратная матрица?

10.Как найти обратную матрицу?

11.Необходимое условие нахождения обратной матрицы?

Задания для самостоятельного решения

	1. Даны			матрицы					A ,				B .		Вычислить
С = АТ + ВА − А2 , D = AB − BT + AC .

		4 1 −8						1 1			− 3				1 1		−3

1.	A = 1		0 − 2 ,			2.	A	= − 2 3			− 2	,		3.	A = 1 4		− 2	,
		− 2 1 2							5	1					−3 1		0
									5	1	0
−3		2 − 4				− 2		2	1						2 −3 1
						− 2		2	1
B = 1		0 2 .					−1							B =	−1 4 −2 .
	2	1 3				B =	−1	0 2 .							2 1	3
	2	1 3					2	1	5						2 1	3
							2	1	5
		3	2	1					4 1		−8				− 2		1 −8
			−6														1 −
4.	A = 4		−6	7	,	5.	A	= 2 0			−1	,		6.	A = 1		1 −	2
4.			−5		,	5.						,		6.		−3	4 −1
		−2	−5	3				− 2 1			2					−3	4 −1
−3		2 − 4				1		−2 1						,
															2 −3 1
B = 1		0 3 .				B = −3		1 2 .							2 −3 1

	2	1 3					2							B =	−1 0 −2 .
	2	1 3					2	1 3						B =	−1 0 −2 .
															−4 1	2
															−4 1	2

		1			1 − 3					1 2			1							4 1 −8
			− 6 3															A =
7.		A =	− 6 3			− 2	,	8.	A = 1 0				2 ,			9.		A =	1			0 − 2		,
7.							,									9.				− 2 1 2				,
			5		1 0					2 1			3							− 2 1 2
	−2 −1 1							1 2			1							4 1 −8
																B =		1 0 −2
B =		−1 5 2 .						B = 1 0			2 .					B =		1 0 −2			.
		2 1 5							2	1							−2 1			2
									2	1	3
		−3			2	1					4 1 −8									1 1 − 3

10.		A = 4		−6		−2	,	11.	A =		1	0	− 2 ,			12.		A =		− 2		3	− 2
			2		5	3					− 2 1 2									5 1 0
			2		5	3					− 2 1 2									5 1 0
		1		−3 1				−3 2			− 4					,
																		− 2	2	1
		. B = −1			0 −2			B = 1 0			2		.					− 2	2	1
		. B = −1			0 −2			B = 1 0			2		.
			2	1		3			2 1		3					B =		−1 0 2 .
			2	1		3			2 1		3					B =		−1 0 2 .
																		2	1
																		2	1	5
		1		1 −3							3		2 1							4 1 −8

13.		A = 1		4	− 2 ,			14.	A =		4	−6		7	,	15.		A =		2		0	−1 ,
		−3		1	0
											−2 −5 3								− 2			1 2
	2 −3			1				−3 2			− 4							1 − 2 1
								−3 2			− 4
B = −1 4			−2 .													B =		−3	1 2 .
B = −1 4			−2 .					B = 1 0			3 .					B =		−3	1 2 .
		2 1		3					2	1	3							2	1 3
									2	1	3

2.Вычислить определитель матрицы A

¾методом треугольников

¾методом дописывания столбцов

¾методом разложения по столбцу или строке.

	3		2 1				4	1 −8		− 2		1 −8

1.	A = 4		−6 7 .			2.	A = 2	0 −1 .	3.	A = 1		1 − 2 .
		−2	−5 3					1 2			− 3
		−2	−5 3				− 2	1 2			− 3	4 −1
	1		1 − 3				1	2 1		4		1 −8

4.	A =	− 6	3 − 2		.	5.	A = 1	0 2 .	6.	A = 1		0 − 2 .
		5	1	0							− 2
							2	1 3			− 2	1 2
	−3		2	1			4	1 −8		1		1 − 3
7.						8.					− 2
7.	A = 4		−6 −2 .			8.	A = 1	0 − 2 .	9.	A =	− 2	3 − 2
		2	5	3			− 2	1 2	9.		5	.
		2	5	3							5	1 0
							23

	1	1	−3					3	2 1				4	1		−8
10.			− 2						−			12.
10.	A = 1	4	− 2	.			A = 4		−	6 7		12.	A = 2	0		−1 .
	−3	1	0			11.		− 2	−	.				1		2
								− 2	−	5 3			− 2	1		2
	− 2	1	−8				1		1	− 3			1	2	1

13.	A = 1	1	− 2		.	14.	A =	− 6	3	− 2	.	15.	A = 1	0	2 .
		4	−1					5	1	0				1	3
	− 3	4	−1					5	1	0			2	1	3

3. Найти матрицу, обратную к матрице B .

	−3			2 − 4			1			− 2 1			2			−3 1

1.	B = 1			0 3		2. B =		−3		1 2		3. B =		−1		0 −2
			2					2						−4		1
			2	1 3				2		1 3				−4		1	2
	−2			−1 1			1 2			1			4			1 −8
		−1														0 −2
4.	B =	−1		5 2		5.	B = 1 0			2		6.	B =	1		0 −2
		2						2 1						−2 1 2
		2		1 5				2 1		3				−2 1 2
	1 −3				1		−3			2 −4			− 2			2 1

7. B = −1				0 −2		8.	B = 1			0 2		9.	B = −1			0 2
		2		1	3			2		1 3					2
								2		1 3					2	1 5
		2		−3 1				−3		2 − 4				1		− 2 1
10. B =
10. B =			−1	4	−2	11. B =			1	0	3	12. B =			−3	1	2
			2	1					2	1 3					2
			2	1	3				2	1 3					2	1 3
		2		−3 1				−2		−1 1				1		2 1
13. B =
13. B =			−1	0	−2	14. B =			−1	5	2	15. B = 1				0 2
			−4	1	2				2	1 5					2	1 3
			−4	1	2				2	1 5					2	1 3

Тестовые задания

1. Определить, которая из матриц является единичной. Варианты ответов:

а) 1	0	;
0	0
б) 1	1 ;
1	1
в) 1	1 ;
0	1
г) 1	0	.
0	1

2. Определить, которая из матриц является вырожденной. Варианты ответов:

а) −1		0 ;
0		2
б) 1	1 ;
1	1
в) 1	1 ;
0	1
г) 1	0	.
0	1

3. Определить, которая из матриц имеет размерность 3× 2 . Варианты ответов:

а) 1			0 ;
	0		1
	1		0	0
б)		0	1	0	;

		0	0	1
		0	0	1
в) 1			0 0 ;
	0		0	0
	1		0
г) 0			1 .
		1	0
		1	0

4. Если	1		2	, то алгебраическое дополнение A12	=
	A =	3	4

Варианты ответов:

а)3; б) –3; в) 2; г) –2.

5. Если		2		−1	0	, то алгебраическое дополнение
5. Если	A =		3	4		, то алгебраическое дополнение	A =
	A =		3	4	−1		11
			1	0	5
			1	0	5

Варианты ответов:

а)2; б) 20; в) 19; г) 40.

6.	Найти AB , если			−1		0	2
6.	Найти AB , если			A =	0	0	, B =	0	.
					0	0		0
Варианты ответов:
а)	−2	0	;
а)			;

	0	0

б)	2		0		;
б)		0	0		;
		0	0
в)	−2			;
в)		0		;
		0
г)	−1			0	2	.
		0		0	0
		0		0	0

7. Найти A + B , если

Варианты ответов:

−2		0
а)	0	2	;
	0	2
−1		0
б)	0	0	;
	0	0
−2		0
в)	0	−2		;
	0	−2

−1		0	,	1		0
A =	0	2		B =	0	0	.

г)	0		0
		0	2	.

8. Найти	A − B , если	−1		0	1		0
		A =	0	2	, B =	0	0	.

Варианты ответов:

−2	0
а)			;
0	2
−1	0
б)	0		;
0	0
−2	0
в)	−2		;
0	−2
0	0
г)	.
0	2
9. Найти			T	+ B , если		−1		0	0	,
9. Найти		A		+ B , если		A =	2	0	0	,
							2	0	0
Варианты ответов:
−1	0		0
а)	0		1		;
2	0		1
−1	0		1
б)	0		0		;
2	0		0
−1	2
в) 0	0 ;
	0
1	0
2	−1
г) 0	0 .
	0
1	0

10. Найти определитель матрицы 0

Варианты ответов:

а) 0; б) –1; в) 5; г) –6.

	0		0
B =
B =		0	0	.
			0
	1		0

0 0

−1 0 .

0 3

Тематика рефератов

1.Применение матриц в экономике.

2.Исследование различных методов вычисления определителей.

3.Нахождение обратной матрицы методом Жордано-Гаусса.

ТЕМА 2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

1.2. Основные понятия

Система вида (1) называется системой из M линейных

уравнений с N неизвестными:

a	x + a	x		+... + a		x		= b
11	1 12 2				1n n				1
a21 x1 + a22 x2 +... + a2 n xn								= b2
..............................................											(2.1)

a	x + a	m 2	x	2	+... + a	mn	x	n	= b
m1 1		m 2		2		mn		n		m

Здесь коэффициенты линейных уравнений снабжены нижними двойными индексами. Они образуют матрицу

a	a	...	a
11	12	...	1n
A = a21	a22	...	a2 n
...	...	...	...	.	(2.2)
		...
am1	am2	...	amn

МатрицаА, элементами которой являются соответствующие коэффициенты линейных уравнений системы называется матрицей этой системы.

	b1

Столбец	B = b2	называется		столбцом			свободных членов
Столбец	M	называется		столбцом			свободных членов

	bm
системы (1).
Матрица
		a	a	...	a	b
		a	a	...	a	b
		11	12	...	1n	1
	( A \| B) = a21		a22	...	a2n	b2
		... ...		... ...		...
				...
		am1	am2	...	amn	bm		(2.3)
		am1	am2		amn	bm

называется расширенной матрицей системы (2.1) и обозначается

( A | B) .

<<< < Предыдущая 1 23 / 163 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.20201.52 Mб17методичка_линейка _2_.pdf
#
03.11.202055.57 Кб2ссылки.pdf