- •§ 18. Понятие, предел и непрерывность функции нескольких переменных
- •§ 19. Частные производные и дифференциал функции нескольких переменных
- •§ 20. Экстремум функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области
- •§ 21. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •§ 22. Производная по заданному направлению. Градиент
- •§ 23. Неявные функции, их дифференцирование
§ 21. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
В
где функции
дифференцируемы на отрезке.
Возьмеми соответствующую ему точкуМ кривой.
Дадимtприращениетакое, что.
Обозначим соответствующую точку черезN. Проведем секущуюMN. Ее уравнение (см.
аналитическую геометрию)
,
z
N
М
О у
х
где Х,Y,Z – текущие координаты прямой (секущей). Разделим все знаменатели на:
.
Ясно, что секущая займет положение касательной, когда точка N совпадет с точкойМ при стремленииN кМпо кривой. Следовательно уравнение касательной получится тогда, когда перейдем к пределу при, получим
– (21.1)
искомое уравнение касательной.
Замечание.В случае плоской кривойи уравнение касательной прямой, очевидно, имеет вид.
Теперь получим уравнение касательной плоскости к поверхности в
т
z N
T
M
S
x
y
точку М линиюMS,
принадлежащую поверхности.
Пусть ее уравнение в параметрической
форме будет.
Если функциих(t),у(t),z(t)
дифференцируемы в точкеt,
которой соответствует точкаМ, то
уравнение касательнойMT
к кривойMS имеет
вид (21.1). Поскольку криваяMS
принадлежит поверхности, имеем.
Отсюда
(21.2)
в точке М. Введем в рассмотрение прямуюMN:
, (21.3)
где вычислены в точкеМ. Из (21.1), (21.2) и (21.3) видим, что прямыеMT иMN перпендикулярны. Поскольку прямаяMN не зависит от выбора кривойMS (зависит только от уравнения поверхности и от точкиМ), прямаяMN перпендикулярна касательной к любой кривой на поверхности, проходящей через точкуМ. Поэтому все эти касательные лежат в одной плоскости. Эта плоскость и называетсякасательной плоскостью к данной поверхности в точкеМ. Из аналитической геометрии известно, что уравнение плоскости, проходящей через точкуи перпендикулярной прямой (21.3), имеет вид
. (21.4)
Прямая MN, перпендикулярная к касательной плоскости и проходящая через точку касания, называетсянормалью к поверхности в точкеМ. Уравнение нормали имеет вид (21.3).
Если поверхность задана уравнением , то представляем его в виде. Тогдаи уравнение касательной плоскости примет вид
.
Пример. Найдем уравнения касательной плоскости и нормали к поверхностив точке.
Решение. Имеем, поэтому уравнение касательной плоскости (21.4) имеет вид
или, т.е.(здесь– координаты текущей точки касательной плоскости).
Уравнение нормали: .