Лабораторное задание 5
.docЗадание 5.
Интерполирование и экстраполирование функций.
Вычисление значений функции с использованием интерполяционных формул Гаусса, Стирлинга, Бесселя.
Цель задания.
Изучение методов интерполяции и экстраполяции функции.
Содержание задания.
1. Изучение методов интерполяции и экстраполяции функции.
-
Составление программы и ее отладка.
Постановка задачи.
Используя интерполяционные формулы Гаусса, Стирлинга и Бесселя, вычислить приближенные значения функции y (x) при данных значениях аргумента:
1) x = 1,60 + 0,006n;
2) x = 1,725 + 0,002n;
3) x = 1,83 + 0,003n;
4) x = 2 - 0,013n;
( n = 1, 2, 3,..., 30 )
Функция f (x) задана таблицей:
x y ( x)
1,50 15,132
1,55 17,422
1,60 20,393
1,65 23,994
1,70 28,160
1,75 32,812
1,80 37,857
1,85 43,189
1,90 48,689
1,95 54,225
2,00 59,653
2,05 64,817
2,10 69,550
________________________________________________________________
ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ
x y ( x)
0,12 6,278
0,14 6,405 Найти значения функции y = f (x)
0,16 6,487 при следующих значениях
0,18 6,505 аргумента:
0,20 6,436 1) x = 0,168; 2) x = 0,192;
0,22 6,259 3) x = 0,204; 4) x = 0,175.
0,24 5,954
________________________________________________________________
Составим диагональную таблицу конечных разностей функции f (x):
x i y (x i ) y i 2 y i 3 y i
x -3 = 0,12 y -3 = 6,278
x -2 = 0,14 y -2 = 6,404 126 -43
x -1 = 0,16 y -1 = 6,487 83 -65 -22
x 0 = 0,18 y 0 = 6,505 18 -87 -22
-69 -21
x 1 = 0,20 y 1 = 6,436 -108
x 2 = 0,22 y 2 = 6,259 -177 -128 -20
x 3 = 0,24 y 3 = 5,954 -305
Таблица заканчивается разностями третьего порядка, так как они являются практически постоянными.
1) Для определения значения у (0,168) примем x 0 = 0,16 ; тогда
t = (x - x 0) / h = (0,168 - 0,16) / 0,02 = 0,4.
Воспользуемся первой формулой Гаусса:
t (t - 1) (t +1) t (t - 1)
y (x ) ~ p (x) = y 0 + t y 0 + _________ 2 y -1 + __________________ 3 y -1 .
2! 3!
Находим:
0,4 (-0,6) 1,4 . (-0,6) . 0,4
y (0,168 ) ~ 6,487 + 0,4. 0,018 + ____________ (-0,065) + ___________________ (-0,022) ~
2 6
~6,487 +0,0072 +0,0078 + 0,0012 = 6,5032 ~ 6,503.
2) Для определения значения у (0,192) примем x 0 = 0,18 ; тогда
t = (0,192 - 0,18) / 0,02 = 0,6.
Воспользуемся формулой Бесселя:
y 0 + y -1 t (t - 1) 2 y -1 + 2 y 0
y (x ) ~ p (x) = __________ + (t - 1/2) y 0 + _________ . __________________ +
2 2! 2
(t -1/2) t (t -1)
+ ___________________ 3 y -1 + ... .
3!
Находим:
6,505 +6,436 0,6 (-0,4) -0,087 - 0,108
y (0,192 ) ~ _________________ + (0,6 -0,5)(-0,069) + ____________ . ___________________ +
2 2 2
(0,6 -0,5) 0,6 (-0,4)
+ _________________________ (-0,021) ~6,4705 - 0,0069 +0,0117 +0,0001 ~ 6,475 .
6
3) Для определения значения у (0,204) примем x 0 = 0,20 ; тогда
t = (0,204 - 0,20) / 0,02 = 0,2.
Воспользуемся формулой Стирлинга:
y -1 + y 0 t (t 2 - 1) 3 y -2 + 2 y -1
y (x ) ~ p (x) = y 0 + t _______________ + t /2 2 y -1 + ___________ . ___________________ .
2 6 2
Находим:
-0,069 -0,117 0,04 0,2 (0,04-1)(-0,021-0,02)
y (0,204) ~ 6,436 +0,2 . ________________ + ____ (-0,108) + ______________________________ ~
2 2 12
~ 6,436 - 0,0246 - 0,0022 +0,0007 = 6,4099 ~6,410 .
4) Для определения значения у (0,175) примем x 0 = 0,18 ; тогда
t = (0,175 - 0,18) / 0,02 = 0,25.
Воспользуемся второй формулой Гаусса:
t (t + 1) (t +1) t (t - 1)
y (x ) ~ p (x) = y 0 + t y -1 + _________ 2 y - 1 + __________________ 3 y - 2 .
2! 3!
Находим:
0,75 (-0,25) 0,75 (-0,25)(-1,25)
y (0,175) ~ 6,505 +0,018 (-0,25) +______________ (-0,087) + ______________________ (-0,022) ~
2 6
~ 6,505 - 0,0045 + 0,0082 - 0,0009 = 6,5078 ~ 6,508 .
Литература.
-
Вержбицкий В.М. Основы численных методов: Учебник для вузов. – 2-е изд., перераб. – М.: Высш.шк.,2005.
-
Поршнев С.В. Вычислительная математика. Курс лекций. – СПб.:БХВ-Петербург, 2004.
-
Гусак А.А. Справочник по высшей математике. – Мн.: ТетраСистемс, 2004.
-
Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Учебное пособие для вузов/ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. - М.,2005.
-
Кетков Ю., Кетков А., Шульц М. MATLAB 7 программирование, численные методы. БХВ-Петербург, 2005.