Второй замечательный предел
Сначала найдем предел бесконечной последовательности {yn}, где
yn =
Покажем, что эта последовательность монотонно возрастает и притом ограниченная.
1) Убедимся, что yn+1 > yn при всяком целом положительном n.
По формуле Ньютона для полинома n-ой степени запишем
yn = = + + … +
-----------------------------------------------------------------------------------------
= an + + + … + Дифференциальный бином
_________________________________________________________________
Разделим каждый сомножитель числителя на n, получим
= + +….. + , теперь найдем
= = 1 + 1 + + + ….
+ +
+ .
В правой части равенства имеем одно дополнительное последнее слагаемое. Кроме того, все слагаемые, начиная с третьего у больше соответствующих для , т.к.
.
Следовательно, > , т.е. последовательность монотонно возрастающая.
2) Покажем, что при всяком целом положительном n, 2 < < 3.
В равенстве для члены суммы, начиная с 3-го слагаемого, больше нуля, поэтому > 2. В равенстве для отбросим все вычитаемые
< 1 + 1 + + + … + ,
а в знаменателе все цифры (кроме единицы) заменены на 2:
= ; < ; < ; … < ;
В этом случае правая часть увеличится и будет
= < 1 +
Но справа, начиная со второго члена, убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем q = . Её сумма будет
= 1 + = 3- .
Таким образом, при всяком n
2 < < 3- . < 3,
Т.е. последовательность ограничена сверху и монотонно возрастает. Следовательно, последовательность имеет предел. Этот предел впервые найден в XVII столетии Непером, называется неперовым числом и обозначается буквой е.
= e.
Число е – иррациональное. Его приближенное значение е = 2.71828.
Можно показать, что к этому же пределу стремится и функция непрерывно изменяющегося аргумента
y = ,
когда ее аргумент z стремится к .
= е.
Рассмотрим случай: z
Для доказательства заключим каждое значение z между двумя последовательными целыми числами
n z < n + 1. (1)
Если z , то одновременно стремится к и n.
Отсюда находим
или .
Прибавим единицу
или . (2)
Возведем члены неравенства в степени, показателями которых служат члены неравенства (1), тогда
. (3)
(Знаки неравенства не изменятся, т.к. наименьшее число возводится в наименьшую степень, наибольшее – в наибольшую). По теореме о пределе произведения и частного имеем
= = e 1= e (4)
= = = e . (5)
Т.о. из (4) и (5) видно, что крайние члены неравенства (3) стремятся к одному и тому же пределу – числу е. Поэтому по теореме о «двух милиционерах» имеем
= е (6)
Легко показать, что
= е (7)
Пусть z = - u, тогда при z - , u , поэтому
= .
Сделаем следующие преобразования
= = = =
Тогда,
==
= е.
Если теперь положим , то получим значение исходного выражения, приведенного в начале лекции. Величина, обратная бесконечности является бесконечно малой: z , х будет к 0. Поэтому, заменяя z на x, получаем
= е. (8)