Часть 1.
б)
По заданным узловым значениям исходной функции осуществим интерполяцию с помощью интерполяционного полинома Ньютона (вид записи - интерполяция вперед).
Интерполяционный полином Ньютона строим по формуле:
Разделенными разностями первого порядка, составленными по соседним узлам, называют отношения:
По ним можно определить разделенные разности второго порядка:
Аналогично определяются разделенные разности более высокого порядка. Например, если известны разделенные разности -го порядка, то разделенная разность-го порядка определяется как:
.
Вычисления производим в MathCAD:
Построим в MathCADв одном графическом шаблоне полученный интерполяционный полином и узловые значения исходной функции.
Блок-схема алгоритма, реализующего вычисление значения интерполяционного полинома Ньютона (вперед) в любом значении аргументапри условии произвольного количества узловых значений исходной функции:
Часть 2.
По заданным узловым значениям исходной функции (векторы и ) запишем СЛАУ для расчета коэффициентов кубического сплайна со свободным закреплением концов.
Известно, что при кубическом сплайне между парой соседних узлов интерполяции имеем кубический многочлен вида:
Для определения коэффициентов ,,,на всехотрезках записывают и решаютлинейных уравнений из условия непрерывности функции:
непрерывности первых и вторых производных в узлах интерполяции
и условия свободного закрепления концов
В нашем случае имеем:
Решаем эту систему в MathCADвычислительным блокомGiven…find:
Получаем:
Запишем функцию , реализующую рассчитанный кубический сплайн, считая, что за границами рассматриваемого диапазона изменения аргумента изменение функцииосуществляется соответственно по начальному и конечному частям сплайна:
Построим в одном графическом шаблоне рассчитанный кубический сплайн и узловые значения исходной функции:
Часть 3.
По заданным узловым значениям исходной функции (векторы и ) методом наименьших квадратов определим коэффициенты аппроксимирующего обобщенного многочлена: , где- система базисных функций.
Согласно метода наименьших квадратов коэффициенты определяются из условия:
. (1)
При поиске минимального значения необходимое и достаточное условие
(2)
дает систему из линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных. Запишем систему (2) и решим ее вMathCADвычислительным блокомGiven…find.
Экстремальная задача примет вид:
.
Параметры искомой зависимости находятся из системы:
Отобразим в одном графическом шаблоне полученный аппроксимирующий обобщенный многочлен и узловые значения исходной функции
Величина для полученного аппроксимирующего обобщенного многочлена:
Часть 4.
а)
Реализуем в MathCADпо рассчитанным узловым значениям (векторыи) кусочно-линейную интерполяцию (функцияlinterp), кубическую сплайновую с различным продолжением (функцииlspline, pspline, cspline, interp). Отобразим в одном графическом шаблоне исходную функцию, узловые значения (векторыи) и четыре полученные интерполяционные функции.
б)
По узловым значениям (векторы и) реализуем вMathCADВ-сплайн интерполяцию с различными степенями заменяющих полиномов (), выбрав самостоятельно векторы точек сшивок. В одном графическом шаблоне отобразим исходную функцию , узловые значения (векторыи), три интерполяционные функцииВ-сплайнов и соответствующие им точки сшивок.
Графики:
в)
По узловым значениям (векторы и) реализуем вMathCADлинейную аппроксимацию (функцииline, medfit), полиномиальную аппроксимацию (функцииregress(степени аппроксимирующих полиномовr= 1, 4, 7) иloess(параметрspanвыбрать самостоятельно)), аппроксимацию функцией видаpwfit.
Для всех аппроксимирующих функций рассчитаем величину среднеквадратичного отклонения ().
Отобразим в одном графическом шаблоне исходную функцию , узловые значения (векторы и) и полученные аппроксимирующие функции.
Задача 4. Численное интегрирование функций
В MathCADвычислить интегралметодом Трапецийпри заданном количествеNразбиений интервала интегрирования(шаг интегрирования) и оценить погрешность применения данной составной квадратурной формулы для вычисления интеграла.
Для вычисления интеграла по указанному методу написать функцию пользователя, в которой входным параметром является количество Nразбиений интервала интегрирования. Отобразить функциии(в соответствии с применяемыми методами) на интервале. По оценке погрешности составной квадратурной формулы интегрирования указанным методом рассчитать количество требуемых интервалов разбиения для вычисления интеграла с заданной точностью. Вычислить интеграл с этой точностью.
Решение.
Разбиение интервала задается следующим образом:
.
Для вычисления интеграла методом Трапеций воспользуемся формулой:
Составим в MathCADфункцию пользователя и вычислим интеграл при разных количествах разбиений:
В методе трапеций в соответствии с оценкой остаточного члена формулы для вычисления интеграла – оценка погрешности:
, где.
Вычисляем максимальное значение модуля второй производной на данном отрезке:
Оценки погрешности для каждого :
Строим графики функций и:
Находим необходимое количество интервалов для достижения заданной точности и вычисляем интеграл: