Лекции (2)
.pdfМОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
Лекции
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
4 семестр
Лектор Амосов Андрей Авенирович
Москва, 2009/2010
|
|
Содержание |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. |
|
|
|
|
||||||
Лекция № 1. |
Краевые задачи. Постановки краевых задач ................................ |
|
3 |
||||||||
|
Задачи с однородными краевыми условиями. Сведение задач с |
||||||||||
|
неоднородными условиями к задачам с однородными краевыми |
||||||||||
|
условиями ......................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
Лекция № 2. |
Некоторые свойства решений уравнения L[U]=0 ........................ |
8 |
|||||||||
|
Неоднородные краевые задачи. Функции Грина |
....................... |
11 |
||||||||
Лекция № 3. |
Неоднородные краевые задачи. Функции Грина |
....................... |
12 |
||||||||
|
Физический смысл функции Грина ............................................. |
|
|
|
15 |
||||||
|
Принцип максимума. Теоремы сравнения. Априорная оценка |
||||||||||
|
решения первой краевой задачи .................................................. |
|
|
|
|
|
16 |
||||
Лекция № 4. |
Задача Штурма-Лиувилля ............................................................ |
|
|
|
|
|
|
|
18 |
||
|
Матричная экспонента. Формула Коши ..................................... |
|
|
|
21 |
||||||
|
Разрешимость двухточечной краевой задачи для системы |
||||||||||
|
линейных дифференциальных уравнений .................................. |
|
|
23 |
|||||||
|
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. |
|
|
||||||||
Лекция № 5. |
Введение. Задача о Брахистохроне. Задача Дидоны .................. |
25 |
|||||||||
|
Функционалы, |
сильный |
и |
|
слабый |
дифференциалы. |
|||||
|
Необходимое условие экстремума |
.............................................. |
|
|
|
26 |
|||||
|
Дифференцируемость простейшего функционала вариационного |
||||||||||
|
исчисления ..................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
Лекция № 6. |
Основная лемма вариационного исчисления. Лемма Дюбуа- |
||||||||||
|
Реймона .......................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33 |
|
Простейшая задача вариационного исчисления (задача с |
||||||||||
|
закреплёнными концами). Уравнение Эйлера ........................... |
|
35 |
||||||||
Лекция № 7. |
Простейшие случаи интегрируемости ур-я Эйлера ................... |
37 |
|||||||||
Лекция № 8. |
Задача со свободными концами ................................................... |
|
|
|
|
|
41 |
||||
|
Задача с подвижными концами. Условие трансверсальности .. 43 |
||||||||||
|
Задача с двумя подвижными концами ........................................ |
|
|
|
45 |
||||||
Лекция № 9. |
Функционал Больца ...................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
46 |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функционалы вида J y |
|
F x, y, y |
|
dx ......................................... |
|
|
|
47 |
||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
Функционалы вида J y F x, y, y , y ,..., y |
|
dx ........................... |
|
49 |
||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
Лекция № 10. Минимизация выпуклого функционала ...................................... |
|
|
|
50 |
|||||||
Лекция № 11. |
Вторая Вариация функционала. Необходимое |
условие |
|||||||||
|
экстремума в терминах второй вариации. Условие Лежандра . 54 |
||||||||||
|
Классические достаточные условия экстремума |
....................... |
56 |
||||||||
Лекция № 12. Усиленное условие Якоби ............................................................ |
|
|
|
|
|
|
|
57 |
|||
Лекция № 13. |
.......................................................................................................... 61 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 | С т р а н и ц а |
Лекция № 14. |
Изопериметрические задачи. Абстрактная изопериметрическая |
|
|
задача .............................................................................................. |
63 |
Лекция № 15. |
Классическая изопериметрическая задача .................................. |
65 |
|
Вариационные задачи на условный экстремум при наличии |
|
|
голономных и не голономных условий связи ............................ |
67 |
Лекция № 16. |
Понятие о неголономных связях ................................................. |
69 |
|
Задача о геодезических линиях .................................................... |
70 |
|
Геодезические линии на сфере .................................................... |
71 |
Экзаменационная программа ................................................................................. |
72 |
2 | С т р а н и ц а
Лекция № 1.
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. ПОСТАНОВКИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ.
Рассмотрим задачу Коши, которая удовлетворяет некоторому ДУ и начальному условию.
Начальная задача
Поставим дополнительные условия.
Многоточечная задача
Наиболее распространённая задача – задача с двумя дополнительными условиям (точками a и b).
Краевая (граничная) задача
Пример 1.1.
Задача о статическом равновесии упругого стержня.
f f x – сила, действующая на все точки стержня (например, инерции и т. п.)
Если закрепить левую и правую точки стержня U 0 0, U l 0 стержня описывается уравнением:
сила тяжести, сила
, тогда равновесие
|
d |
|
p x |
dU |
f x – уравнение статического равновесия стержня. |
|
dx |
|
|
||||
|
|
|
||||
|
|
|
dx |
|
||
|
|
|
|
|||
|
|
физический смысл |
|
|||
|
|
напряжение |
|
|||
p x – коэффициент упругости стержня |
||||||
1 x l |
|
|
(1)
Из уравнения видно, что изменение напряжения вызвано действием силы.
Требуется найти решение уравнения (1), для которого выполнены два условия: |
|
U 0 0 |
2 |
U l 0 |
3 |
3 | С т р а н и ц а
Определение 1.1.
Система из уравнения (1) и дополнительными условиями (2) и (3) называется краевой задачей.
|
|
d |
p x |
dU |
|
f x |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||
|
|
dx |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U 0 0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
U l 0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решением краевой задачи будет некоторая функция
Можем поставить следующие условия:
U(0) U |
0 |
|
U l U |
|
|
l |
|
|
|
|
U
U x
.
Как вариант, может быть рассмотрена тепловая задача, тогда U U x – температура;
p(x) – коэффициент теплопроводности;
f f x – плотность теплового источника.
Пример 1.2.
Задача об установившихся гармонических колебаниях упругого стержня.
f |
f x e |
i t |
– гармоническая сила; |
|
|||
|
– частота колебаний; |
U U x ei t – амплитуда колебаний. Уравнение описания процесса:
|
d |
p x |
|
dU |
|
2 |
x U f x |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
dx |
|
плотность |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
стержня |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U 0 0 |
|
Граничные условия |
||||||
|
|
|
|
|
||||
U l 0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 | С т р а н и ц а
Пример 1.3.
Задача о траектории.
t – время;
– координаты точек.
r0 , r1
Требуется за время |
t |
попасть из |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|||
ma |
|
|
|
|
|||
|
d |
2 |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
||||
a |
dt |
2 |
r |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Краевая задача для системы ДУ II
|
|
|
r0 |
в |
r1 . |
порядка:
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
d |
|
|
|
dr |
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
m |
|
|
|
r t |
F |
|
t, |
r , |
|
|
|
||||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
r t |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
r t |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Общий вид ДУ II |
порядка: |
|||||||||||||||
a x U ''b x U 'c x U g x , a 0, |
||||||||||||||||
Поделим на a x : |
|
|
|
|||||||||||||
U '' |
b x |
U ' |
c x |
U |
g x |
, |
a 0 |
|||||||||
a x |
a x |
a x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a,b,c
– гладкие функции.
x |
b |
|
p x e |
|
a |
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Введём |
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Умножим уравнение на p x : |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
p x U '' p x |
b x |
U ' p x |
c x |
|
g x |
|
d |
p x |
dU |
q x U f x |
||||
|
|
|
U p x |
|
|
|
||||||||
|
|
a x |
|
|
a x |
|
a x |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
dx |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
q x |
|
f x |
|
|
|
|
|
Обозначим L[U ] |
d |
p x |
dU |
q x U дифференцирующий оператор. |
|
|
|
||||
|
|
|
|||
|
dx |
|
dx |
|
|
В итоге, получили новый вид ДУ II порядка: |
|||||
|
|
L[U ] f x |
Краевые условия:
1U ' 0 1U 0 12U ' l 2U l 2
(1.1)
(1.2)
(1.3)
2 |
2 |
0 |
|
|
1 |
1 |
|
(не могут обращаться в ноль одновременно) |
|
2 |
2 |
0 |
||
|
||||
2 |
2 |
|
|
(1.1), (1.2), (1.3) – краевая задача.
5 | С т р а н и ц а
Определение
Если 1 0 |
2 |
1.2.
0
, то краевое условие называется однородным краевым условием,
иначе – неоднородным. Варианты краевых условий:
1. 2. 3.
111
0 1
0 1
0, 1 0
0 U 0 |
|
1 |
|
U0 |
U 0 U0 |
– краевое условие 1 |
|
рода. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ого |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 U' 0 |
|
1 |
U0 |
' U ' 0 U0 ' – краевое условие 2 |
ого |
рода. |
|||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U' 0 |
|
U 0 |
|
|
|
U ' 0 1U 0 1 – краевое условие 3 |
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
ого |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
рода
(общего вида).
L[U ] f x |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
U 0 U |
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
U |
|
|
|
|
|
U l |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L[U ] f x |
|
|||||
|
|
|
|
|
' |
|
U ' 0 U |
0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
|
U ' l U |
|
|
||||
|
|
|
l |
|
|
|
1ая
2ая
краевая задача.
краевая задача.
Физический вариант записи. |
|
|||
1. Краевое условие 2 |
ого |
рода: |
|
|
|
|
|
|
|
p 0 U '(0) , |
p x p |
0 |
|
|
0 |
|
0 |
рода: |
|
2. Краевое условие 3 |
|
|
||
|
ого |
|
|
|
p 0 U '(0) U 0 |
, |
p x p |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
|
Определение 1.3. |
|
|
Уравнение |
вида |
L[U ] 0 называется |
L[U ] f x |
– неоднородным уравнением |
однородным уравнением II порядка, а II порядка.
Далее будем предполагать, что p, q, f C 0;l и
p x p |
0 |
0 |
|
x
0;l
.
Определение 1.4. |
|
|
||||
Решением ДУ |
L[U ] f x |
называется функция |
||||
следующим условиям: |
|
|
||||
1. |
U C1 0;l ; |
|
|
|
|
|
2. |
Функция |
p x |
dU |
C1 0;l ; |
||
dx |
||||||
|
|
|
|
|
||
3. |
При подстановке в ДУ получаем тождество L[U |
U
]
f
U x ,
x x
удовлетворяющая
0;l .
6 | С т р а н и ц а
ЗАДАЧИ С ОДНОРОДНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ. СВЕДЕНИЕ ЗАДАЧ С НЕОДНОРОДНЫМИ УСЛОВИЯМИ К ЗАДАЧАМ С ОДНОРОДНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ.
L[U ] f x |
|
||
|
|
|
|
U ' 0 U 0 |
1 |
||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
U ' l U l |
2 |
||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
V ' 0 V |
0 |
1 |
Найдём V x . |
|||
Возьмём кубическую параболу V x |
1 |
1 |
l |
|||||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
V ' l V |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
U 0 U |
|
|
|
||
V x U0 |
|
Ul U0 |
линейная функция |
|
|
|
0 |
|
|
|||
|
|
|
l U |
|
|
|
||||||
|
l |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
U |
l |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим |
z U V , где U – искомая функция, V – найденная. |
|||||||||||
L[z] L[U ] L[V ] |
f L[V ] |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
0 0 |
Задача с однородными граничными условиями. |
||||||
1z' 0 1z |
||||||||||||
|
|
z' l |
|
z |
l 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 | С т р а н и ц а
Лекция № 2. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ L[U]=0
L[U ] |
d |
|
p x |
dU |
q x U , |
p, q 0;l , |
p x p |
|
0 |
|
|
|
0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
dx |
|
dx |
|
|
|
|
|
Сведём ДУ 2-ого порядка к системе ДУ 1-ого порядка:
y |
|
U |
|
dy |
|
|
1 |
y |
|
dy |
|
|
1 |
y |
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
p |
|
2 |
|
|
|
p |
|
2 |
|||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
dx |
|
|
L[U ] 0 |
|||||||
|
y |
|
p |
dU |
dy |
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
2 |
qy |
0 |
|
2 |
qy |
|
||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
Определитель Вронского |
|
|
|
|||||||||
W x |
y x |
|
|
|
z x |
|
, y, |
|
1 |
0;l |
||
p x y' x |
p x z' x |
|
z C |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
W x p x W |
|
x , |
W |
|
x |
|
y x |
z x |
||||
st |
st |
y' x |
|
z' x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лемма 2.1. |
|
|
|
Пусть функции y, |
z являются решениями однородного уравнения |
||
|
|
L[U ] 0 , |
x 0;l |
и удовлетворяет однородному граничному условию |
|||
|
|
U ' 0 U 0 0 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
или |
|
|
|
U ' l U l 0 |
|
|
|
2 |
2 |
Тогда эти функции y и z |
линейно зависимы. |
(2.1)
(2.2)
(2.3)
W 0 |
y 0 |
|
p 0 y' 0 |
||
|
z 0 p 0 z' 0
Если y и z |
удовлетворяют условию (2.2), то |
||
1y' 0 1 y 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 z' 0 1 z 0 0 |
|
Строки в определителе Вронского линейно зависимы |
|
12 12 0 |
|
||
|
|
|
|
p 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
x : W 0 0 y, z линейно зависимы. |
|||
Аналогично, если y |
и z удовлетворяют условию (2.3). |
8 | С т р а н и ц а
Приложение 2.1. (Тождество Лагранжа)
Пусть
y,
1 |
0;l |
z C |
и
p |
dy |
, |
|
dx |
|||
|
|
p
dz dx
C |
0;l , тогда справедливо тождество Лагранжа |
||||
1 |
|
|
|
|
|
zL[ y] yL[z] |
dW |
на 0;l |
(2.4) |
||
dx |
|||||
|
|
|
|
zL[ y] yL[z] z |
d |
dy |
|
|
|
y |
d |
dz |
d |
dy |
||||||||||||
|
p |
|
qzy |
p |
qyz |
pz |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
dx |
|
|
|
|
|
|
dx |
dx |
dx |
dx |
|||
p |
dz dy |
|
d |
dz |
zp |
dy |
|
d |
W x |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
yp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
dx dx |
|
dx |
dx |
|
|
dx |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Следствие 2.1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
zL[ y] yL[z] dx W l |
W 0 . |
||||
Справедлива формула Грина |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Следствие 2.2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Если y |
и |
z удовлетворяют одновременно граничным |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
zL[ y] |
yL[z] dx 0 . |
|
||
формула Грина принимает вид |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
p |
dy dz |
|
d |
|
dz |
|
|
|
|
py |
|
|||
|
|
dx dx |
|
dx |
dx |
|
условиям (2.2), (2.3), то
Следствие 2.3. Если функции
y, |
z |
являются решениями однородного уравнения
L[U ]
0
, то
W x const
.
Из (2.4)
dW dx
0 W
const
.
Будем рассматривать уравнение L[U ] 0 |
, x 0;l |
|
Типы краевых условий: |
|
|
I. U 0 0; U l 0 |
|
|
II. U 0 0; p l U ' l 1U l 0 |
|
|
III. p 0 U ' 0 |
0U 0 0; U l 0 |
|
IV. p 0 U ' 0 |
0U 0 0; p l U ' l 1U l 0 |
(Эквивалентны 9 типам краевых условий)
0 , 1 0
Теорема 2.1.
Пусть U – решение однородного уравнения уравнениям граничных условий I, II, III
(2.1)
(2.1) удовлетворяет однородным или IV. Пусть дополнительно
|
l |
(*) в случае условий IV. Тогда U x 0 . |
q x 0 |
и 02 12 p x dx 0 |
|
|
0 |
|
9 | С т р а н и ц а