11- 1_Теория вероятностей
.docЛ.И. Магазинников
Высшая математика IV
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Контрольные работы №11
Вариант 1
Контрольная работа №11
Задача 1
Подброшены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна пяти.
Решение:
Подброшены две игральные кости при этом может выпасть на каждой кости цифра от 1 до 6. Пространством элементарных событий состоит из 36 точек: (1,1), (1,2), …, (1,6), (2,1), …, (2,6), …, (6,1), …,(6,6). Событие А (сумма выпавших очков равна пяти) состоит из 4 точек: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1).
Тогда Р(А) = .
Ответ: .
Задача 2
События А и В независимы. Вероятность наступления хотя бы одного из них равна 0,76, а ровно одного – 0,52. Найти Р(А) и Р(В), если Р(А) > Р(В). В ответ записать Р(А), а затем Р(В) в виде десятичной дроби.
Решение:
Поскольку события А и В независимы, то вероятность наступления хотя бы одного из них: или , а вероятность наступления ровно одного или . Так. как Имеем систему:
.
Ответ: 0,6; 0,4.
Задача 3
Рабочий обслуживает три станка. Первый станок может требовать ремонта с вероятностью р1 = 0,2; второй – р2 = 0,3; а третий – р13 = 0,4. Найти вероятность того, что не более двух станков потребует ремонта. Ответ ввести в виде десятичной дроби.
Решение:
Обозначим события:
Аi – i станок требует ремонта, i = {1, 2, 3}.
А – ремонт потребуется не более двум станкам;
– ремонт потребуется всем трем станкам.
События А и противоположны, поэтому А + = , Р(А+) = Р(А) + Р() = 1. Т.е. Р(А) = 1 – Р().
= А1 А2 А3, (т.к. Аi – независимы). Р() = р1 р2 р3 = 0,024. Тогда Р(А) = 0,976.
Ответ: 0,976
Задача 4
Ключи К1, К2, К3 соединены по указанной схеме. Вероятность того, что они замкнуты равны 0,2; 0,4; 0,6. При включении в сеть цепь MN оказалась замкнутой. Найти вероятность того, что при этом ключи К2 и К3 были замкнуты, а К1 разомкнут.
Решение:
Из условия: Р(К1) = 0,2; Р(К2) = 0,4; Р(К3) = 0,6.
Обозначим события:
А – цепь замкнута;
А1 – К1, К2, К3 замкнуты;
А2 – К1, К3 замкнуты, К2 – разомкнут;
А3 – К2, К3 замкнуты, К1 – разомкнут.
Найдем вероятности событий Аi:
Р(А1) = Р(К1) Р(К2) Р(К3) = 0,2 0,4 0,6 = 0,048;
Р(А2) = Р(К1) Р(К3) (1 – Р(К2)) = 0,2 0,6 0,6 = 0,072;
Р(А3) = Р(К2) Р(К3) (1 – Р(К1)) = 0,4 0,6 0,8 = 0,192.
Р(А|А1) = Р(А|А2) = Р(А|А3) = .
По формуле полной вероятности получаем:
Р(А) = Р(А|А1) Р(А1) + Р(А|А2) Р(А2) + Р(А|А3) Р(А3) =
Найдем апостериорную вероятность события А3:
Р(А3) = .
Ответ: .
Задача 5
Производится два независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. Случайные величины Y – число попаданий, Z – число промахов, X = |Y – Z|. Найти (все ответы вводить в виде десятичной дроби): а) ряд распределения Х; б) функцию распределения F(x), в ответ ввести F(1,5); в) mx; г) Dx; д) Р(1,5 Х 2,5).
Решение:
а) Найдем ряд распределения X:
Случайная величина Х может принимать следующие значения:
х1 = 0 (Y = 1, Z = 1);
х2 = 2 (Y = 0, Z = 2; Y = 1, Z = 1).
Запишем ряд распределения Х:
-
Х
х1
х2
Р
р1
р1
р1 = 0,6 0,4 + 0,4 0,6 = 0,48;
р2 = 0,6 0,6 + 0,4 0,4 = 0,52.
Ряд распределения случайной величины Х имеет вид:
-
Х
0
1
Р
0,48
0,52
б) Найдем функцию распределения F(x):
Пользуясь соотношением , получим
Тогда F(1,5) = 0,48.
в) Найдем mx:
По формуле M[X] = получим mх = 0 0,48 + 2 0,52 = 1,04.
г) Найдем Dx:
По формуле D[X] = получим
Dх = 1,042 0,48 + 0,962 0,52 0,9984.
д) Найдем Р(1,5 Х 2,5):
Р(1,5 Х 2,5) = F(2,5) – F(1,5) = 1 – 0,48 = 0,52.
Ответ:
-
Х
0
1
Р
0,48
0,52
F(1,5) = 0,48; mх = 1,04; Dх = 0,9984; Р(1,5 Х 2,5) = 0,52.
Задача 6
Случайная величина Х задана плотностью распределения . Найти (ответы вводить в виде десятичных дробей): а) константу А; б) функцию распределения F(x), в ответ записать F(–1), F(1), приняв е–2 = 0,135; в) mx; г) Dx; д) Р(–1 Х 1), ответ округлить до 0,001.
Решение:
а) Найдем константу А:
Так как , тогда .
Т.е. А = 1.
б) Найдем функцию распределения F(x):
F(x) найдем по формуле .
х 0. Тогда
,
х < 0. Тогда
в) Найдем mx:
Функция нечетна, поэтому mх = 0.
г) Найдем Dx:
По формуле Dх = получим
д) Найдем Р(–1 Х 1):
Р(–1 Х 1) = F(1) – F(–1) = 0,865.
Ответ:
А = 1; ; ; mх = 0; ; Р(–1 Х 1) = 0,865.
Задача 7
Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонения Х ее контролируемого размера от проектного не превышает 15 мм. Величина Х нормальна mx = 0, х = 10 мм. Сколько процентов годных деталей изготавливает автомат? Ответ округлить до целых.
Решение:
Р (|Х – mx| < ) того, что случайная величина Х отклонится от своего математического ожидания на величину, меньшую . Найдем по формуле Р (|Х – mx| < ) = . Получаем Р (|Х | < 15) = = 2 0,4332 = 0,8664. (таблица значений функции Лапласа).
Получили, что с вероятностью 0,8664 автомат изготавливает годную деталь (т.е. с отклонением не превышающим 15 мм). В процентах это будет 86,64% 87%.
Ответ: 87%