2- 2_Спецглавы математики

Министерство образования

Российской Федерации

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Автоматизированная система обработки информации и управления.

Контрольная работа №2

по дисциплине «спецглавы математики»

вариант №2.

Студент гр. Код доступа

Пароль

25.07.2002

Задание №1.

В избушку Бабы Яги можно попасть по одной из пяти тропинок, а вернуться только по одной из двух. Сколько всего маршрутов для того, чтобы сходить к ней в гости?

Какое правило используется при решении задачи?

Решение:

Для решения этой задачи используется правило произведения: Если элемент а может быть выбран m способами, а после этого элемент b выбирается k способами, то выбор пары элементов (а,b) в заданном порядке может быть произведен m*k способами.

Из правила следует, что в избушку Бабы Яги можно попасть и вернуться 5*2 = 10 способами.

Ответ: количество маршрутов = 10.

Задание №2.

Доказать, что число трехбуквенных слов, которые можно образовать из букв слова «гипотенуза», равно числу всех перестановок букв, составляющих слово «призма».

Решение:

Количество трехбуквенных слов из букв слова «гипотенуза» - это размещение из n элементов по r, которое находится по формуле:

Где .

Количество всех перестановок букв, составляющих слово «призма» - это перестановка с повторениями состава (1,1,1,1,1,1) длины , находится по формуле:

Из решения видно, что количество трехбуквенных слов из букв слова «гипотенуза» равно количеству всех перестановок из букв слова «призма». Что и требовалось доказать.

Задание №3.

Сколькими способами 20 человек можно рассадить в три автобуса, если способы отличаются лишь количеством человек в каждом автобусе?

Решение:

В этой выборке 20 элементов , а значений номеров автобусов - . Порядок не важен, повторения есть, значит, выборка является сочетанием с повторениями из по элементов:

Ответ: количество способов = 231.

Задание №4.

Сколькими способами можно поставить на шахматную доску 2 пешки, коня, ферзя и короля одного цвета. Пешки неразличимы.

Решение:

Перестановка с повторениями 1,1,1,1,1;

.

Ответ: количество способов равно 120.

Задание №5.

Сравнить

Решение:

Задание № 6.

Вычислить значение, с точностью пользуясь формулой бинома Ньютона.

Решение:

Формула бинома Ньютона:

По формуле бинома Ньютона имеем:

Ответ:

Задание № 7.

Доказать, что подстановка является обратной к подстановке .

Решение:

Свойства операции перемножения подстановок:

1) выполняется свойство ассоциативности;

2) Существует подстановка, для которой для каждого выполняется аксиома существования единичного элемента.

3) Для любого существует такое, что выполняется аксиома существования обратного элемента.

Следовательно, множество образует группу относительно операции перемножения перестановок. Операция не является коммутативной.

Значит

° = , что и требовалось доказать.

Задание № 8.

Построить группу симметрий фигуры, изображенной на рисунке:

2 ІІІ І о 1 ІІ 3

Занумеруем вершины фигуры и оси симметрий. Обозначим О – центр симметрии.

В группу самосовмещений войдет тождественное перемещение – поворот вокруг точки О на 0⁰; поворот вокруг этой точки на 120⁰, на 240⁰; повороты относительно трех осей симметрии. Итого получаем шесть элементов группы симметрий.

Тождественное перемещение описывает тождественная подстановка . Вращение на 120⁰ и 240⁰ - и .

Поворот относительно оси І - , ІІ - , ІІІ - .

Таким образом, мы получили группу подстановок, изоморфную группе самосовмещений фигуры:

Ѕ_6.