Случайная величина (СВ) и ее числовые характеристики

Величина называется случайной, если она принимает свои значения в зависимости от исходов некоторого испытания (опыта), причем для каждого элементарного исхода она имеет единственное значение. Случайная величина называется дискретной, если множество всех возможных значений ее конечно.

Геометрически множество всех возможных значений дискретной СВ представляет конечную систему точек числовой оси.

Пусть Х – дискретная СВ. возможными и единственно возможными значениями которой являются числа х₁, х₂, …, х_п.

Обозначим через

Р_i = P (X = x_i) (i = 1, 2, … , n)

вероятности этих значений (т.е. p_i есть вероятность события, состоящего в том, что Х принимает значение х_i)/

События Х = х_i (i = 1, 2, … , n), очевидно, образуют полную группу событий, поэтому

р₁ + р₂ + … р_п = 1

Соответствие между всеми возможными значениями дискретной СВ и их вероятностями называется законом распределения данной СВ.

Для дискретной СВ закон распределения удобно задавать таблицей

Х	х1	х2	…	хп
р	р1	р2	…	рп

Первая строка содержит все возможные значения СВ, а вторая – их вероятности.

Случайную величину Х будем называть непрерывной, если все ее возможные значения целиком заполняют некоторый конечный или бесконечный промежуток <a, b> числовой оси. Предполагается, что при каждом испытании СВ Х принимает одно и только одно значение х<a, b>.

Для характеристики СВ Х вводят функцию распределения

F (х) = Р ( X<x),

если число значений, которые принимает функция распределения счетно, то Х – дискретная СВ, если бесконечно – непрерывная СВ.

Свойства функции распределения:

1) F (-) = 0

2) F (+) = 1

3) 0 F(x) 1

4) если x₁x₂, то F(x₁) F(x₂)

5) P (x₁X<x₂) = F (x₂) – F(x₁)

Предположим, что для непрерывной СВ Х ее функция распределения Ф(х) имеет непрерывную производную

F’(x) = f(x).

f(x) называют плотностью вероятности (для данного распределения) или дифференциальным законом распределения СВ Х.

Последовательности псевдослучайных чисел

Случайные и псевдослучайные числа, числа, которые могут рассматриваться в качестве реализации некоторой случайной величины. Как правило, имеются в виду реализации случайной величины, равномерно распределенной на промежутке (0,1), или приближения к таким реализациям, имеющие конечное число цифр в своём представлении. При такой узкой трактовке случайное число (с. ч.) можно определить как число, составленное из случайных цифр (с. ц.). С. ц. в р-ичной системе счисления является результатом эксперимента с р равновероятными исходами (каждому из исходов соответствует одна из р цифр). Эксперименты по получению каждой с. ц. предполагаются независимыми.

  Источником с. ц. первоначально служили результаты переписи населения и др. таблицы чисел, полученных экспериментальным путём. Первые таблицы с. ц. были составлены в 1927 в связи с нуждами математической статистики (необходимостью случайного выбора при планировании эксперимента). В дальнейшем в связи с возникновением метода статистических испытаний были созданы специальные экспериментальные устройства — датчики или генераторы с. ч., основанные в большинстве случаев на использовании шумов радиоэлектронных приборов.

С развитием метода статистических испытаний также связано возникновение понятия псевдослучайных чисел (п. ч.). Последние можно получить путём вычислений по некоторой заданной формуле (алгоритму), но их свойства должны быть близки к свойствам с. ч. Наиболее распространены алгоритмы, в которых каждое следующее число вычисляется по предыдущему. Получаемые таким образом последовательности п. ч. имеют период, что существенно отличает их от последовательностей с. ч. Алгоритмы получения п. ч. ещё недостаточно исследованы, но при вычислениях по методу статистических испытаний отдаётся предпочтение п. ч., т. к. свойства последовательности п. ч. можно исследовать путём пробных вычислений, а экспериментальные устройства дают новые последовательности с. ч. при каждом их использовании.

7. Генерация псевдослучайной последовательности.

Случайной называется величина из заданного диапазона, вероятность появления которой определяется функцией закона распределения. Пример: равномерное распределение дискретной случайной величины в диапазоне 1-6 – вероятность равна 1/6.

Получение действительно случайного значения возможно только в том случае, если используется физический или химический процесс в качестве задающего механизма. С помощью ЭВМ можно получить псевдослучайные последовательности. Для них характерно, что выбор одинаковых начальных значений приводит к генерации одинаковых последовательностей и существует такое N, что N+1 член равен первому члену последовательности.

В Си присутствуют функции, позволяющие генерировать последовательность псевдослучайных целых чисел, задавать начальное значение последовательности, задавать начальное значение случайным образом (в зависимости от системного времени).

Далее рассматриваются методы генерации псевдослучайных чисел.

6.1. Метод средних квадратов

а) Выбирается произвольное целое 2k-значное число x₀, которое возводится в квадрат, в результате получается 4k-значное число, из него выбираются средние 2k знака, которые образуют следующее случайное число. Процедура повторяется нужное число раз.

б) Берутся два произвольных 2k-значных числа, которые перемножаются и дополняются до 4k-значности. Из середины берутся 2k знака, следующее число получается из произведения полученного числа и предыдущего.

Получаемые числа можно считать псевдослучайными, т.к. средние знаки зависят от крайних, которые отбрасываются.

6.2. Мультипликативный метод

Задаются константы C и m. Берется произвольное число, следующим псевдослучайным числом будет текущее, умноженное на C и разделенное по модулю m.

6.3. Аддитивный метод (генератор Фибоначчи)

Определяется цело число m. Берутся два целых числа. Следующее число равно сумме двух предыдущих, взятой по модулю m.

6.4. Линейный метод

Определяется набором целых чисел a[j], j[1,k] и целым m. Первоначально берутся k целых чисел. Следующее псевдослучайное число равно сумме по j от 1 до k произведений a[j]x_i+1-j деленной по модулю m.

6.5. Комбинированный метод

Берется целое 2^k-значное число x₀. Число

x₀’ представляет собой последние 2k разряда квадрата x₀,

x₀’’ – первые 2k разряда произведения Cx₀’ (С – целое число),

x₀’’’ – первые 2k разряда квадрата x₀’’,

x₀’’’’ – последние 2k разряда квадрата x₀’’’,

x₀’’’’’ – сумма x₀’’ и x₀’’’’.

Качество работы генератора псевдослучайной последовательности можно определить, построив гистограмму псевдослучайных чисел, т.к. закон распределения равномерный, то высота столбцов должна быть примерно одинаковой.