41. Обработка экспериментальных данных.

Любое значение искомого параметра, вычисляется на основе ограниченного числа опытов, всегда будет содержать элемент случайности. Такое приближённое, случайное значение называют оценкой параметра. При большом числе опытов оценка будет близка к значению параметра.

Обозначим оценку для а как . Она должна быть функцией

.

Т.к. есть функция от случайных величин, то она тоже случайная величина.

Предъявим к ряж требований:

1. оценка состоятельная, если при увеличении n она приближается (сходится по вероятности) к а;

2. оценка несмещённая, если ;

3. оценка эффективна, если .

42. Доверительные интервал и вероятность.

Мы рассмотрели вопрос об оценке неизвестного параметра а одним числом (так называемая точечная оценка).

Надо знать, к каким ошибкам может привести замена а на и с какой степенью уверенности можно ожидать, что эти ошибки не выйдут за заданные пределы. Это особенно актуально при малом числе наблюдений n. Чтобы дать представление о точности и надёжности пользуются доверительными интервалами и вероятностью.

Пусть для а из опыта получена . Зададим достаточно большую вероятность β такую, что событие с такой вероятностью можно считать практически достоверным. Найдём такое значение ε, для которого:

[1]

Перепишем [1] так:

I_β – доверительный интервал

Отметим, что величина а не случайно, а положение интервала I_β на оси абсцисс, определяемое его центром случайно.

Поэтому величину β можно трактовать как вероятность того, что случайный интервал I_β накроет точку а.

Границы и - доверительные границы.

Рассмотрим вопрос об определении I_β для мат ожидания и дисперсии. Если произведено n независимых опытов над случайной величиной X и получены оценки и , то воспользуется тем, что представляет собой сумму одинаково распределённых случайных величин X_i и, согласно ЦПТ закон распределения близок к нормальному.

Точность. Определение числа реализаций.

Выбор количества реализаций зависит от того, какие требования по точности предъявляются к результатам моделирования.

Пусть в качестве оценки параметраа, оцениваемого по результатам случайной выборки x_i является . В силу случайности будет в общем случае отличаться от а. Это отличие можно охарактеризовать с помощью доверительного интервала и доверительной вероятности

или

I_β – доверительный интервал

β – доверительная вероятность (достоверность)

ε – точность