14.4. Единственность решения уравнений установившегося режима

Единственность решения уравнений установившегося режима (14.13) при заданном значении вектора независимых переменных означает, что существует только одно значение вектора зависимых переменных — такое, что па­раметры режима удовлетворяют уравнениям установившегося режима [3]. Нелинейные уравнения установившегося режима имеют, как правило, несколько решений. Поэтому задача заключается в том, чтобы исследовать единственность решения для заданного Y и Х, лежащем в заданной области режимов (рис.14.2). Единственность решения уравнений установившегося режима в области означает, что для любого Y существует единственное значение Х в области - такое, что параметры режима (X,Y) удовлетворяют уравнению установившегося режима (14.13). Как правило, исследование единственности проводится в области , в которой якобиан системы уравнений не равен нулю [3]. На рис. 14.2, б такой областью является, например, прямоугольник, обведенный штриховой линией.

Единственность решения в области для уравнения (14.13) означает, что для любого значения Р в этой области существует только одно решение, то есть только одно значение , удовлетворяющее уравнению установившегося режима. Например, в прямоугольнике около точки 1 , (см. рис. 14.2, б) для любого значения мощности существует единственное решение. Геометрически это означает, что в этом прямоугольнике любая прямая P= const пересекает синусоиду один раз. Аналогично единственное решение существует и в прямоугольнике, заштрихованном вокруг точки 2.

Неоднозначность решения в области означает, что для каждого значения Р в этой области существует несколько решений. Например, в прямоугольнике , на рис. 14.2, б для любого Р существуют два решения. Прямая P = P₂ = const пересекает синусоиду установившегося режима в точках 1 и 2, то есть для Р₂ существуют два значения и , удовлетворяющие уравнению установившегося режима. Аналогично два решения существуют для любого значения мощности в указанном прямоугольнике.

Для любого значения Р меньше предела передаваемой по линии мощности существуют два решения: с и с . Чем ближе мощность к пределу передаваемой мощности по линии, тем ближе эти решения, то есть меньше разность между их углами. Например, при мощности Р₃ (рис.14.2) разница между решениями, соответствующими точкам 3 и 4, меньше, чем для решений 1 и 2 при мощности Р₂. При оба решения сливаются в одно. При предельном значении передаваемой по линии мощности существует единственное решение - точка 5 при . Для всех производная мощности по углу положительна , а для всех эта производная отрицательна. При , т.е. на прямой находится решение уравнения установившегося режима 5, для которого . Эта прямая делит область значений на рис. 14.2, б, в каждой из которых существует единственное решение уравнений установившегося режима. Ниже этой прямой для любого значения мощности существует единственное решение, причем (решения 1, 3 и т. д.). Выше этой прямой для любого существует одно решение .

Для сложных сетей среди нескольких решений, полученных в расчетах слабо нагруженных режимов, то есть далеких от поверхности, на которой для уравнений установившегося режима якобиан , лишь одно соответствовало режиму с допустимыми уровнями напряжений. В расчетах сильно нагруженных режимов (близких к поверхности, на которой якобиан ) были получены два решения, определяющих режимы с допустимыми уровнями напряжений.