12.3. Решение уравнений узловых напряжений баланса токов
Решение уравнений узловых напряжений баланса токов методом Ньютона осуществляется аналогично приведенному выше. Уравнений узловых напряжений в форме баланса токов в узлах:
. (12.25)
Элементы матрицы Якоби - это производные активных и реактивных небалансов токов; по активным и реактивным напряжениям узлов (либо по модулям и фазам напряжений), то есть
.
(12.26)
Все недиагональные элементы матриц-клеток в (12.26) постоянны, то есть не зависят от напряжений. Каждый из них равен активной или реактивной узловой проводимости, то есть соответствующему элементу матрицы коэффициентов системы действительных уравнений узловых напряжений в форме баланса токов (12.25).
Применение метода Ньютона с точки зрения сходимости лучше, чем решение на каждом шаге итерационного процесса линейных уравнений узловых напряжений по Гауссу (или с помощью матрицы Zy).
Важнейшие преимущества метода Ньютона в расчетах установившихся режимов на ЭВМ - быстрая квадратичная сходимость и возможность учета слабой заполненности матрицы производных. Эффективно применение метода Ньютона для расчета установившихся режимов при их комплексной оптимизации.
Таким образом,
метод Ньютона в расчете установившегося
режима сходится значительно быстрее
и надежнее метода Зейделя, а также, как
правило, быстрее и надежнее, чем при
использовании матрицы
или решении
на каждом шаге линейных уравнений
узловых напряжений. Метод Ньютона
требует столько же памяти ЭВМ, сколько
при решении на каждом шаге линейных
уравнений узловых напряжений по Гауссу,
то есть больше, чем по методу Зейделя,
но значительно меньше, чем при
использовании матрицы
.
12.4 Метод по параметру.
Метод по параметру необходимо использовать в расчете установившегося режима в тех случаях, когда расходится метод Ньютона. Ряд модификаций метода по параметру определяется следующей итерационной формулой [3]:
,
(12.27)
где
- обратная
матрица Якоби;
- вектор-функция
небалансов мощности в узлах;
- значения вектора
переменных на i-м
и (i+l)-m
шагах итерационного процесса;
t - параметр, причем
.
При t=1 (12.27) совпадает с (12.16), то есть итерационный процесс (12.27) совпадает с методом Ньютона. Метод по параметру (12.27) можно рассматривать как ускорение метода Ньютона.
Предположим, что
итерационный процесс не сошелся при
значении независимых параметров
,
при решении системы:
.
(12.28)
Пусть известно
решение уравнений установившегося
режима
при значении неизвестных параметров
,
то есть
удовлетворяют
системе уравнений:
. (12.29)
Метод по параметру заключается в замене (12.29) на систему
, (12.30)
где t - действительный параметр.
Простейший метод
по параметру - метод последовательных
интервалов. Метод последовательных
интервалов (как и другие модификации
методов по параметру) фактически
соответствует утяжелению режима и
решению на каждом шаге утяжеления
уравнений установившегося режима. Суть
этого метода в следующем. Пусть известен
установившийся режим
.
Разделим отрезок
для всех компонент вектора Y
на несколько последовательных интервалов.
На каждом интервале будем решать систему
уравнений установившегося режима:
, (12.31)
где параметр t определяется длиной выбираемых интервалов.
При решении (12.31) в качестве начального приближения вектора X будем использовать его значение, полученное при расчете установившегося режима на предыдущем интервале.
Метод по параметру следует применять в качестве наиболее надежных по сходимости. Поэтому при каждом изменении параметра t (на каждом интервале) целесообразно использовать метод Ньютона, который быстро и надежно сходится, если начальное приближение достаточна близко к решению.