9. Лекция №9

9.1. Линейные и нелинейные уравнения установившегося режима

Основными параметрами рассмотренных выше пассивных элементов электрических цепей являются сопротивление r, индуктивность L и емкость С. Можно считать параметры пассивных элементов цепи не зависящими от тока и напряжения. В этих случаях характеристики элементов электрической цепи (зависимости напряжения от тока в сопротивлении r, заряда от напряжения на конденсаторе с емкостью С, потокосцепления от тока катушки с индуктивностью L) являются прямыми линиями. Такие элементы цепи называются линейными. В линейных элементах сопротивление r, емкость С и индуктивность L постоянны. Установившиеся режимы цепей, содержащих только линейные пассивные элементы и постоянные, не изменяющиеся по модулю и фазе источники тока, описываются линейными уравнениями установившегося режима. Такие цепи называются линейными электрическими цепями. Этот случай соответствует расчету установившихся режимов электрических систем при задании, постоянных по модулю и фазе токов нагрузки потребителей и генераторов во всех узлах электрической системы.

Если параметры пассивных элементов электрической цепи существенно зависят от тока или напряжения, то есть характеристики этих элементов нелинейны, то и сами такие элементы называются нелинейными.

В расчетах установившихся режимов электрических систем нелинейность пассивных элементов не учитывается. В этом смысле продольная часть схемы замещения всегда линейна. В то же время при расчетах установившихся режимов электрических систем учитываются нелинейные характеристики источников тока. Нелинейность источников тока соответствует заданию в узлах нагрузки потребителей или генераторов с постоянной мощностью либо заданию нагрузки ее статическими характеристиками, определяющими зависимость мощности от напряжения. Установившиеся режимы электрических систем с нелинейными источниками тока описываются нелинейными уравнениями установившегося режима.

9.2. Уравнения узловых напряжений при напряжении ба­лансирующего узла

Установившимся режимом электрической цепи при постоянных источниках тока и напряжения называют такое состояние, при котором ток в любой ветви и напряжение в любом узле остаются неизменными в течение сколь угодно длительного времени [3].

Будем рассматривать наиболее часто встречающийся и наиболее простой случай. Известны параметры всех пассивных элементов электрической цепи, заданы постоянные значения источников тока во всех узлах, кроме одного - балансирующего, и все ЭДС, а также напряжение одного узла - базисного. Надо определить напряжения n узлов и токи в m ветвях.

В общем случае базисный и балансирующий узлы могут не совпадать. Как правило, при расчетах режимов электрических систем предполагают, что эти узлы совпадают. В дальнейшем для простоты изложения будем считать, что базисным и балансирующим является один и тот же узел (n + 1), который для краткости будем называть балансирующим.

Число независимых уравнений по первому закону Кирхгофа равно числу независимых узлов n. Уравнение первого закона Кирхгофа для (n + 1)-го узла является следствием уравнений для остальных n узлов и не входит в число независимых уравнений.

Для сети постоянного тока, например, из четырех узлов можно записать в следующем виде:

, (9.1)

где - ток k-го узла;

- неизвестное узловое напряжение, то есть напряжение между k-м узлом и балансирующим, совпадающим с базисным;

- (при ) - взаимная проводимость узлов k и j;

- собственная проводимость узла k.

Взаимная проводимость узлов j и k равна взятой с обратным знаком сумме проводимостей ветвей, соединяющих эти узлы. Если между двумя узлами нет ветви, то соответствующая взаимная проводимость равна нулю. Если узлы k и j соединены одной ветвью с сопротивлением и проводимостью , то

. (9.2)

Пусть с узлом k соединено m ветвей, тогда:

, (9.3)

где (n + 1) - общее число узлов в сети, из которых n независимы.

Для рассматриваемой сети из четырех узлов, например:

. (9.4)

Будем использовать матрицу собственных и взаимных проводимостей узлов:

(9.5)

и вектор-столбцы токов в узлах I и узловых напряжений U:

, . (9.6)

Учитывая правило умножения матриц, систему уравнений узловых напряжений можно записать в матричной форме следующим образом:

. (9.7)

Для цепи переменного тока узловые напряжения, токи в узлах, собственные и взаимные проводимости узлов - комплексные величины. Систему уравнений узловых напряжений для цепи переменного тока можно записать в матричной форме:

. (9.8)

В справедливости этого матричного выражения легко убедиться, если принять во внимание правило умножения матриц с комплексными элементами.

При решении на ЭВМ уравнения узловых напряжений для сети переменного тока, как правило, приводятся к системе действительных уравнений порядка 2n, где n - число независимых узлов. Для этого представляют матрицы и вектор-столбцы с комплексными элементами в виде сумм матриц и вектор-столбцов с действительными элементами (при этом надо в виде такой суммы представить каждый комплексный элемент и учесть правило сложения матриц):

. (9.9)

Подставив (9.9) в (9.7), получим

. (9.10)

Запишем отдельно действительные и мнимые матричные слагаемые в последнем уравнении:

. (9.11)

Таким образом, систему уравнений узловых напряжений для цепи переменного тока можно записать в матричном виде следующим образом:

. (9.12)

Выражение (9.12) как раз и является системой действительных уравнений порядка 2n и содержит 2n неизвестных действительных и мнимых составляющих узловых напряжений (, ).