Методичка по Математике
.pdfМосковская Медицинская Академия им И.М.Сеченова
Кафедра медицинской и биологической физики
Заведующий кафедрой – профессор В.Ф. Антонов
М.С.Федорова Методическая разработка для самоподготовки
по курсу «Высшая математика, информатика» для студентов лечебного, медико-профилактического, стоматологическо-
го факультетов и факультета военного образования.
Под редакцией доцента Е.Ю.Смирновой
Москва – 2004 г.
Настоящая методическая разработка написана в соответствии с учебной программой по курсу «Высшая математика, информатика» и учебником Ю.В.Морозова «Основы высшей математики и статистики» 1998 г.
Автор считает своим приятным долгом выразить глубокую благодар-
ность заведующему кафедрой, профессору В.Ф.Антонову за интерес, про-
явленный к работе, профессору А.М.Чернышу, сделавшему ряд ценных за-
мечаний, заведующему кафедрой медицинской информатики и статистики,
доценту А.Н.Герасимову за любезно предоставленные статистические ма-
териалы к теме 7, профессору А.А.Аносову и М.В.Крупновой за помощь в подготовке компьютерной версии методической разработки.
1
Содержание |
|
Тема 1. |
Производная функции одной переменной |
Тема 2. |
Функция нескольких переменных. |
|
Дифференцирование функций нескольких |
|
переменных |
Тема 3. |
Дифференциалы функций одной и нескольких |
|
переменных |
Тема 4. |
Неопределенный интеграл |
Тема 5. |
Определенный интеграл |
Тема 6. |
Дифференциальные уравнения |
Тема 7. |
Элементы обработки медико-биологической |
|
информации |
Тема 8. |
Об использовании гистограмм в задачах |
|
медицинской диагностики |
Тема 9. |
Использование метода наименьших квадратов |
|
в процессе статистической обработки медико-биологических дан- |
|
ных |
Тема 10. |
Корреляционная зависимость. Коэффициент линейной корреляции |
2
Т е м а 1
Производная функции одной переменной
Понятие производной - одно из основных понятий математического анализа. Производная характеризует быстроту изменения функции при изменении ее аргумента. В частности, производные применяются при математическом описании кинетики химических реакций, динамики движения, при нахождении градиента скорости, давления, температуры и других величин.
Литература для подготовки к занятию по теме:
Ю.В.Морозов "Основы высшей математики и статистики", М., 1998, с.19-28, 37-50.
В процессе подготовки к практическому занятию по теме необходимо выполнить следующее:
1. Повторить следующие теоретические вопросы:
1)Понятие функции.
2)Понятие предела функции (аналитическая форма записи предела функции в точке)
II. Изучить по указанной литературе следующие вопросы:
1)Понятие производной функции.
2)Физический смысл производной (привести примеры на вычисление скорости и градиента).
3)Геометрический смысл производной (пояснить с помощью графика).
4)Основные формулы дифференцирования - производная постоянной, степенной, экспоненциальной, логарифмической, тригонометрических функций. Таблицу производных этих функций необходимо перенести в рабочую тетрадь.
5)Правила дифференцирования алгебраической суммы, произведения, частного двух функций.
6)Понятие сложной функции.
7)Правило дифференцирования сложных функций (пояснить на примере, как выбирается промежуточная переменная).
Эталоны решения типовых задач и задачи для самоконтроля
Задача 1. Вычислить производную функции y = 5x4 Решение
Данное выражение является степенной функцией вида
y = xn , умноженной на постоянный коэффициент. В соответствии с правилом дифференцирования функции, умноженной на константу, постоянный коэффициент можно выносить за знак производной, поэтому:
y′ = 5 (x4 )′
Далее в соответствии с формулой (xn ) = n xn−1 , получим: y = 5 4x4−1 = 20x3
3
Найти самостоятельно производную функции |
y = − |
1 |
x5 . |
|
5 |
||||
|
|
|
Задача 2. Найти производную функции y = x12 − x + 2
Решение Для решения задачи необходимо применить правило дифферен-
цирования алгебраической суммы:
(U ±V ±W )′ =U ′±V ′±W ′
и формулу производной степенной функции. Тогда получим:
|
|
|
|
y′ = ( |
|
1 |
− x + 2)′ = (x |
−2 |
)′−(x)′+ (2)′ |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
x2 |
|
|
||||||||||||||||||
|
или |
y = −2x |
−2−1 |
− x |
1−1 |
− 0 = −2x |
−3 |
−1 = − |
|
|
2 |
−1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
x3 |
слагаемого суммы |
|||||||||||||||||
|
Здесь |
при вычислении |
производной |
первого |
||||||||||||||||||||
и записи |
|
результата использована |
возможность представления |
|||||||||||||||||||||
дроби |
1 |
|
в |
|
виде |
степенной |
|
функции |
с |
отрицательным показателем |
||||||||||||||
|
x2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
степени: |
1 |
= x−2 |
|
(в |
общем |
случае |
|
1 |
|
= x−n ), и |
наоборот - сте- |
|||||||||||||
2 |
|
|
n |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
пенной функции с отрицательным показателем степени в виде дроби. Производная второго слагаемого равна - 1, производная константы равна нулю.
y′ = ( x12 − x + 2) = − x23 −1
Найти самостоятельно производные следующих функций:
1.y = x3 + x −6
2.y = − x13 + 1x +1
Задача 3. Найти производную функции y = 3 x2 Решение
Для решения задачи необходимо сначала представить эту функцию в виде степенной функции с дробным показателем степе-
m
ни, по формуле: n xm = x n
2
В нашем случае имеем: y = 3 x2 = x 3
Далее, применив правило дифференцирования степенной функ-
ции, с показателем степени n = 23 , найдем:
4
y′ |
|
2 |
( |
2 |
−1) |
|
2 |
|
− |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
3 x |
3 |
|
= |
3 x |
|
3 = |
33 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Найти самостоятельно производные следующих функций: |
||||||||||||||||||||
|
|
1. y = 55 x2 |
|
|
|
3. |
y = |
1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
x |
|
|
|
|
|
|
2. |
y = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
4. |
y = |
3 1 |
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
x |
|
|
|
|
|
Задача 4. Найти производную функции y = ex sin x |
|
|
|
|||||||||||||||||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Данная функция является произведением экспоненциальной |
||||||||||||||||||||
функции е |
|
и тригонометрической функции sin x . |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
Применяя правило дифференцирования произведения функций и |
||||||||||||||||||||
используя правила дифференцирования функций e x |
и |
|
sin x , найдем |
|||||||||||||||||||
производную произведения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
(e |
x |
sin x) = (e |
x |
) |
′ |
|
′ x |
= e |
x |
sin x |
+ cos x e |
x |
= e |
x |
(sin x + cos x) |
|||||||
|
|
|
|
sin x + (sin x) e |
|
|
|
Найти самостоятельно производные функций :
1)y = x2 cos x
2)y = x ex
3)y = x3 (sin x −1)
4)y = x2 ln x
Задача 5. Найти производную функции |
y = |
ln x − 2 |
|
||||||||||
x |
|||||||||||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Применяя формулу дифференцирования частного функций: |
|||||||||||||
U |
′ |
|
|
′ |
−UV |
′ |
|
|
|
||||
|
= |
U V |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
V 2 |
|
|
|
|
|
|||||
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
и основные формулы дифференцирования, получим:
|
ln x − 2 |
|
|
(ln x − 2)′x −(ln x − 2) x′ |
( |
1 |
−0) x −(ln x − 2) 1 |
|
1 −ln x + 2 |
|
3 −ln x |
||||||||||||
|
)′ = |
x |
|
|
|||||||||||||||||||
( |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
= |
|
|||
x |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
x2 |
|
|
x2 |
x2 |
||||||||
Найти самостоятельно производные функций |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
1) |
y = |
cos x |
|
3) |
y = |
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2) |
y = |
ex −1 |
4) |
y = |
sin x |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
x |
|
ln x |
|
|
|
|
равна |
|||||||||||||
|
|
5. |
|
Доказать, что производная функции |
|
|
y = ctgx |
(− sin12 x)
5
Задача 6. Найти производную функции y = sin 2x .
Решение Данная функция отличается от табличной множителем а=2 при
переменной х. Производная пишется по правилу дифференцирования сложной синусоидальной функции
(sin U )′ = cosU U ′
Применяя правило дифференцирования сложной синусоидальной функции, получим:
y = (sin 2x)′ = (cos 2x) 2 = 2 cos 2x
Найти самостоятельно производные функций:
1.y = sin( x2 +1)
2.y = cos(2x +1)
Задача 7.
Найти производную функции y = eax , где а - константа. Решение.
Данная функция отличается от табличной множителем "а" при переменной х и является сложной.
Применяя правило дифференцирования сложной экспоненциальной функции
(eax )′ = eax (ax)′, получим:
(eax )′ = eax (ax)′ = aeax
Найти самостоятельно производную функции: 1. y = e5 x 2. y = e x
Задача 8. Найти производную функции y = x3 + 2 Решение
Данная функция может быть представлена в виде сложной степенной
1
y= (x3 + 2) 2
Всоответствии с формулой производной сложной степенной
функции
(U n )′ = nU n−1 U ′
в данном случае имеем:
|
3 |
1 |
|
′ |
1 |
|
3 |
1 |
−1 |
|
3 |
|
3x2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
y′ = (x |
|
+ 2) 2 |
|
= |
|
(x |
|
+ 2) 2 |
|
(x |
|
+ 2)′ = |
|
||
|
2 |
|
|
|
2 x3 + 2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти самостоятельно производные сложных функций:
6
1.y = 13 cos 3x
2.y = e−x2
3.y = 1 + ln x
Задача 9. Точка совершает колебания по закону S = So sin(πt + π4 ) ,
где So = 2 (м). Определить скорость тела в момент времени t = 14
с. Решение
Скорость тела в любой момент времени t определяется производной S′(t) . Функция S(t) является сложной функцией.
Применяя формулу дифференцирования сложной функции, в нашем случае получим (sinU )′ = cosU U ′
v(t) = S′(t) = So cos(πt + π4 ) (πt + π4 )′ = πSo cos(πt + π4 )
Скорость тела в момент времени t = 14 с есть v( 14) = S′( 14) = 2π cos(π 14 + π4 ) = 2π cos π2 = 0
Ответ: скорость тела в момент времени t = 14 с равна нулю.
Задание. Определить самостоятельно ускорение тела в мо-
мент времени t = |
1 |
с, если скорость тела |
v(t) = 2π cos(πt + |
π ) |
и |
|
4 |
||||||
|
|
|
4 |
|
измеряется в м/с.
Задача 10. Определить величину градиента концентрации, если зависимость концентрации от координаты задана функцией
C(x) = Co e−kx , где k - константа, а Co - есть концентрация веще-
ства при x = 0 . Решение
Величина градиента определяется выражением C′(x) = dCdx и
характеризует быстроту изменения концентрации при изменении координаты.
Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции
(eU )′ = eU U ′
в данном случае получим:
dCdx = Coe−kx (−kx)′ = −k Co e−kx
7
Ответ: градиент концентрации |
dC |
= −k Co e−kx |
|
dx |
|||
|
|
Решить самостоятельно задачу:
При ламинарном течении вязкой жидкости в трубе слои жид-
кости |
имеют |
|
различную скорость в зависимости от расстояния x |
|||
от оси трубы. |
|
|
||||
v(x) = |
P |
(R |
2 |
− x |
2 |
) , |
4ηl |
|
|
||||
где |
P - разность давлений на участке трубы длиной l |
R - радиус трубы,
η - коэффициент вязкости.
Найти величину градиента скорости на расстоянии x от оси трубы.
Задачи для решения на практическом занятии
1. |
y = 3x2 |
+ 2 |
||
2. |
y = |
13 + |
1 |
+ x |
|
|
x |
x |
|
3.y = sin x − ctgx
4.y = lnxx
5.y = ln5xx
6.y = sin 2 4x
7. |
y = |
1− |
x |
|
|
||
|
|
1+ |
x |
|
|
||
8. |
y = sin ex |
|
|
||||
9. |
y = |
|
esin x |
|
|
|
|
|
cos 2x |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||
10. |
|
|
y = cos ex |
||||
11. |
|
|
y = ln |
1 + x |
|||
|
|
1 − x |
|
||||
12. |
|
|
y = 5sin(3x + 2) |
||||
13. |
|
|
y = 5 e−x2 |
||||
14. |
|
|
y = x |
1 + x2 |
|||
15. |
|
|
y = 3cos2 x |
16.y = 4 x2 sin x
17.y = 8 cos(3t − π3 )
18.y = 5 ln(2x −3)
19.y = 3sin(t + π2 )
20.y = e−3x cos 5x
21.y = cos5 3x
y = esin2 x
22.
e−3x
23.y = 1 − x3
24.y = ln sin x
25.y = x2 − a2
26.y = e4 x + x4
27.y = x2x−2 1
28.y = Ae−βt cos(wt +γo )
29.y = 0.5 e−2 x
30.y = ctgx −tgx
8
31) Найти скорость изменения во времени концентрации C лекарственного вещества при выведении его из организма, если процесс описывается формулой
C(t) = Co e−at ,
где C0 = 2 мг/л, ( C0 - концентрация вещества при t =0), a = 0.05
1/c.
32) Зависимость барометрического давления от высоты при условии постоянства температуры определяется барометрической формулой
p = po |
e−kh , |
|
po - давление при h |
|
где k |
- константа, h - высота, |
= 0. |
||
Получить формулу для градиента давления. |
|
|||
33) Количество электричества, прошедшего через проводник, |
||||
начиная с |
момента времени |
t = 0 , определяется |
формулой |
|
q = 2t 2 |
+ 3t +1 |
. Вычислить силу тока в конце пятой секунды. |
Т е м а 2
Функция нескольких переменных. Дифференцирование функций нескольких переменных.
До сих пор мы изучали функцию одного аргумента (одной независимой переменной), т.е. функции вида y = f (x) . Вместе с тем в физике, химии, биологии большинство процессов подчинено законам, выражающим зависимость между несколькими аргументами, один из которых функционально связан с остальными. Например,
площадь прямоугольника S = xy есть функция двух аргументов - сторон х и y .
Любая из переменных уравнения состояния PV = RT есть функция двух аргументов, например, P = RTV . Здесь функция P
зависит от двух переменных: температуры Т и объема V.
Для изучения подобных зависимостей вводится понятие функции нескольких переменных.
Литература для подготовки к занятию:
Морозов Ю.В. "Основы высшей математики и статистики", М., 1998, с.52-56.
В процессе подготовки к практическому занятию по теме необходимо выполнить следующее:
1. Повторить следующие теоретические вопросы:
1)Понятие сложной функции одной переменной.
2)Понятие приращения аргумента и функции одной перемен-
ной.
3) Дифференцирование сложной функции.
9
П. Изучить по указанной литературе следующие вопросы:
1)Понятие частного приращения функции нескольких пере-
менных.
2)Понятие частной производной функции нескольких пере-
менных.
Эталоны решения типовых задач и задачи для самоконтроля
Задача 1. Найти частные приращения функции f (xy) = x2 + xy Решение
Частное приращение по x , аргумент y не изменяется x f = f (x + x, y) − f (x, y) = (x + x)2 + (x + x) y − x2 − xy =
= x2 + 2x x + ( x)2 + xy + xy − x2 − xy = (2x + y) x + ( x)2
Частное приращение по y , аргумент x не изменяется y f = x2 + x( y + y) − x2 − xy = x y
Найти самостоятельно частные приращения функций по х и по у:
1)Z = 2x2 + y2
2)Z = 5x −3xy3
Задача 2. Найти частные производные функции Z = xy
Решение Данная функция является функцией двух аргументов: х и у. При
нахождении производной по одному аргументу другой аргумент рассматривается как постоянная величина.
Тогда Z x′ = |
∂Z |
|
= |
∂ |
|
( |
x |
) = |
1 ∂x |
= |
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∂x |
|
∂x |
|
|
|
y ∂x |
y |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|||||||||||||
Z ′y = |
∂Z |
|
|
∂ |
|
|
|
x |
|
|
∂ |
|
|
−1 |
|
x |
||||
|
= |
|
|
( |
|
) = x |
|
( y |
|
) = − |
|
|||||||||
∂y |
∂y |
y |
∂y |
|
y2 |
Найти самостоятельно частные производные следующих функций:
1) |
Z = x e y |
3) Z = cos(2x + 2 y) |
2) |
Z = ln(x + y) |
4) Z = 2x2 y3 |
Задача 3. Найти частные производные функции Z = e x+2 y Решение
Частная производная по аргументу x . Аргумент y считаем постоянной величиной.
Z x′ = |
∂Z |
= |
∂ |
(e |
x+2 y |
) = e |
x+2 y ∂ |
(x + 2 y) = e |
x+2 y |
|
∂x |
∂x |
|
|
∂x |
|
10