Вопросы по курсу «теория вероятностей и математическая статистика»
.doc-Вопросы по курсу «теория вероятностей и математическая статистика»
для студентов групп АП-51-52
(2008/2009 учебный год, осенняя сессия)
-
Пространство элементарных исходов, стохастический эксперимент. Статистическая устойчивость .Примеры.
-
Случайные события. Операции над случайными событиями. Свойства операций. Принцип двойственности.
-
Дискретное вероятностное пространство. Определения и примеры.
-
Элементы комбинаторики. Размещения, сочетания, перестановки. Примеры.
-
.Схемы выбора (упорядоченный, неупорядоченный выбор, с возвращением и без возвращения). Примеры.
-
Схемы размещения частиц по ячейкам.. Соответствие между схемами выбора и размещения.
-
-
Выборки из генеральной совокупности, содержащей элементы двух типов. Гипергеометрическое распределение. Обобщённое гипергеометрическое распределение. Примеры.
-
Классическое определение вероятности. Примеры.
-
Геометрическая вероятность. Задача о встрече. .Парадокс Бертрана.
-
Аксиоматика теории вероятностей. Вероятностное пространство. Определения и примеры основных понятий.
-
.Аксиомы теории вероятностей и простейшие следствия из них.
-
Теорема сложения вероятностей для двух событий Несовместные события. Общая теорема сложения.
-
Условная вероятность. Независимость событий попарная и в совокупности. Пример Бернштейна..
-
Теорема умножения вероятностей для двух и для произвольного числа событий.
-
Формула полной вероятности. Понятие о полной группе событий. Примеры.
-
Формула Байеса. Априорные и апостериорные вероятности. Примеры.
-
Последовательность независимых испытаний Бернулли. Распределение числа успехов в n испытаниях . Наивероятнейшее число успехов
-
.Число испытаний до первого успеха в схеме Бернулли.. Геометрическое распределение вероятностей .Свойство “не старения”
-
Полиномиальная схема. Примеры.
-
Определение случайной величины. Способы задания законов распределения случайных величин.
-
Дискретные случайные величины. Ряд распределения. Функция распределения. Примеры.
-
Функция распределения, её свойства. Примеры.
-
Абсолютно непрерывные случайные величины, плотность распределения, её свойства.
-
Моменты случайных величин. Свойства математического ожидания и дисперсии.
-
Мода, медиана распределения. Моменты k-ого порядка. Асимметрия, эксцесс. Примеры.
-
Дискретные распределения :биномиальное и геометрическое. Моменты,
-
.Отрицательное биномиальное распределение. Распределение Паскаля. Моменты.
-
Пуассоновское распределение. Моменты. Теорема Пуассона.
-
Гипергеометрическое распределение и равномерное дискретное. Моменты. Примеры.
-
Равномерное непрерывное распределение, моменты. Правило 3 . Моделирование.
-
Экспоненциальное распределение, моменты. Правило 3 . Моделирование.
-
Нормальное распределение, моменты. Правило 3 . Моделирование.
-
Моделирование непрерывных распределений.
-
Предельные теоремы в схеме Бернулли: локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа, теорема Пуассона. Примеры.
-
Многомерные случайные величины. Совместная функция распределения двумерного случайного вектора.и ее свойства.
-
Совместное распределение двух дискретных случайных величин. Числовые характеристики. Независимость случайных величин. Примеры.
-
Абсолютно непрерывные совместные распределения двух случайных величин. Совместная плотность распределения и ее свойства. Числовые характеристики. Независимость случайных величин.
-
Ковариация, её свойства.
-
Коэффициент корреляции, его свойства. Независимые и некоррелированные случайные величины. Примеры. Двумерное нормальное распределение.
-
Функции от случайных величин и их распределения. Примеры.
-
Расределение суммы двух независимых дискретных случайных величин. Примеры...
-
Формула свертки .Гамма распределение .Хи-квадрат распределение.
-
Неравенства Ляпунова, Маркова, Чебышева. Примеры.
-
Сходимость по вероятности. Закон больших чисел. (Теоремы Чебышева, Маркова, Хинчина, Бернулли, Пуассона). Примеры применения.
-
Слабая сходимость случайных величин. Центральная предельная теорема. (Теорема Леви, теорема Ляпунова). Примеры применения.
-
Основные задачи математической статистики.
-
Генеральная совокупность, выборки, вариационный ряд, порядковые статистики.
-
Законы распределения минимального и максимального членов вариационного ряда. Распределение k-ой порядковой статистики. Примеры.
-
Эмпирическая функция распределения, её свойства.
-
Гистограмма и полигон частот.
-
Выборочные моменты, их свойства (выборочное среднее, выборочная дисперсия, выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса).
-
Задачи точечного оценивания. Свойства точечных оценок (несмещённость, состоятельность ).
-
Функция правдоподобия. Оценки максимального правдоподобия. Примеры.
-
Оценивание неизвестных параметров распределения методом моментов. Примеры.
-
Метод наименьших квадратов.
-
Метод Монте-Карло
54.Критерий согласия хи-квадрат Пирсона.
55.Цепи Маркова. Матрица вероятностей перехода. Предельные вероятности.