- •Тема 4.7. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная и дифференциал.
- •Свойства операции дифференцирования.
- •Тема 4.8. Логарифмическое дифференцирование.
- •Тема 4.9. Дифференциал функции
- •Тема 4.10 Производные и дифференциалы высших порядков.
- •Тема 4.11. Производная функции, заданной параметрически.
- •Тема 4.12. Производные неявной функции.
- •Тема 4.13 Правило Лопиталя.
- •Тема 4.14. Формула Лагранжа.
- •Необходимые и достаточные условия экстремума функции
- •Выпуклость и вогнутость функции
Тема 4.7. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная и дифференциал.
Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную в некоторой окрестности точки x. Из этого следует, что в этой точке бесконечно малому приращению аргумента x соответствует бесконечно малое приращение функцииf.
О. Производной функции y=f(x) по аргументу х называется конечный предел отношения приращения функции f =f(x+x) – f(x). к приращению аргумента x , при стремлении x к 0:
Пусть x стремится к нулю. При этом точка N будет двигаться вдоль кривой y = f(x), приближаясь к точке M, а секущая MN будет приближаться к касательной к графику функции, при этом её угол наклона будет стремиться к углу наклона касательной к кривой в точке x. Таким образом, геометрический смысл производной заключается в том, что производная функции f(x) в точке x равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.
Физический смысл производной: производная есть скорость изменения функции в точке х.
Нахождение производной функции y = f(x) называется дифференцированием.
Производная функции f(x) не существует в тех точках, в которых функция не является непрерывной. В то же время функция может быть непрерывной в точке x0, но не иметь в этой точке производной.
Так функция y = x не имеет производной в точке x = 0, хотя является непрерывной в этой точке.
Таблица производных основных элементарных функций.
Таблица производных.
1. (xn)'=nxn-1 2. (ax)'=axlna 3. (ex)'=ex
4. (logax)'=5. (lnx)'=6. (sinx)'=cosx
7. (cosx)'=-sinx 8. (tgx)'=9.(ctgx)'=-
10. (arcsinx)'=11. (arccosx)'=-
12. (arctgx)'=13. (arcctgx)'=-14.(х) '=1
Свойства операции дифференцирования.
1. (с)'=0, c-const 2. (f(x)+g(x)-r(x))'=f '(x)+g '(x)-r '(x)
3. (f(x)g(x))'=f '(x)g(x)+g '(x)f(x), 4. (cf(x))'=c(f '(x))
5. .
Пример. Найти производную функции y=x3.
Воспользуемся первой формулой в таблице, где n=3, и получим
y=3x3-1=3x2.
Пример. Найти производную функции y= y=
Для того чтобы воспользоваться формулой преобразуем функцию к табличному виду:
. Тогда ;;
Пример. Найти производную функции y=sinx+ex.
Применим правила дифференцирования к сумме двух табличных функций:
у =(sinx)+(ex)=cosx+ex.
Пример.y=5x-x5
y=5xlnx-5x4
Пример. Найти производную функции y=lnxtgx.
По правилу дифференцирования произведения функции получим:
у =( lnx)tgx+ lnx(tgx)=
Пример. Найти производную функции y=.
Теорема о производной сложной функции.
Пусть функция g(x) имеет производную в точке x, а функция f(z) имеет производную в точке z = g(x). Тогда сложная функция F(x) = f(g(x)) имеет в точке x производную F (x) = f (z) g (x).
Приведем примеры вычисления производной сложной функции.
Пример. Найти производную функции y=(3x5+2)6.
Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Обозначим 3x5+2=t, тогда у=t6. Получаем
у =(t6)t(3x5+2)x=6t5(35x4+0)=6(3x5+2)515x4=90x4(3x5+2)5.
Пример. Найти производную функции y=sin5x.
Рассуждая аналогично предыдущему примеру, обозначим sinx=t. Тогда получим степенную функцию y=t4. Берем производную сначала от степени функции, затем от основной функции:
у =5t4(sinx)= 5t4cosx=5sin4xcosx.
В дальнейшем для упрощения решения примеров, особые обозначения промежуточных результатов будем опускать.
Пример. Найти производную функции y=cosx4.
у =-sinx44x3=-4x3 sinx4.
Пример. Найти производную функции y=arcsin.
Нужно обратить внимание на то, что в производной функции y=arcsinx в качестве аргумента используется . Поэтому производная имеет выше указанный вид. Типичной ошибкой студентов является следующий вид решения:
Пример. Найти производную функции y=ln3tg(e-x).