условия задач по бдз 60 гр

1 часть

1. Найти плотность электронов в металле. Вычислить эту величину для щелочных металлов. Ввести понятие объёма, приходящегося на 1 электрон в металле . Вычислить величину для щёлочных металлов.

2. Найти значение длины свободного пробега электронов, считая, что электроны подчиняются статистике Максвелла и рассеиваются друг на друге, как твёрдые шары, имеющие радиус, равный классическому радиусу электронов.

3. Найти значение стационарной проводимости для щёлочных металлов. Извлечь величину . Найти значение длины свободного пробега электронов из значения времени столкновения в теории Друде. Сравнить с длиной свободного пробега, полученной в предыдущей задаче.

4. Считая, что электроны в металле подчиняются статистике Максвелла, найти выражения и вычислить значения средней скорости, среднеквадратичной скорости, средней обратной скорости для электронов в щёлочных металлах при комнатной температуре. Сравнить со скоростью электронов, обеспечивающие ток 10 А в проводнике сечением 1 см.

5. Вычислить константу Холла для металлов. Рассмотреть установление стационарного режима в задачи Холла. Определить, при каких параметрах выполнено условие

6. Найти высокочастотные проводимость и диэлектрическую проницаемость в теории Друде.

7. Оценить влияние степени неоднородности электромагнитного высокочастотного поля назначения высокочастотной проводимости для случая щелочных металлов. Показать, что длина свободного пробега электронов в обычных условиях мала по сравнению с длиной волны высокочастотного электромагнитного поля даже для случая ультрафиолета.

8. Вычислить значения плазменной частоты в щёлочных металлах. Найти вырожение для плазменной частоты из следующей задачи: возьмём кусок металла в форме бруска и сместим весь электронный газ в нём на расстояние относительно положительного фона неподвижных ионов. В результате возникновения поверхностного заряда возникнут колебания в электронном газе. Найти их частоту.

9. Найти разность потенциалов на концах неоднородно нагретого стержня в теории Друде (эффект Зеебека). Вычислить константу Зеебека Q.

10. Вычислить значение константы для щёлочных металлов в законе Видемана-Франца в теории Друде.

2 часть.

1.В теории Зоммерфельда для щелочных металлов при температуре Т=0:

Найти значение импульса Ферми, выразить его через и вычислить значения для щелочных металлов;

Найти значение энергии Ферми, средней энергии электронов, сравнить его со значением средней энергии электронов в теории Друге при комнатной температуре;

Вычислить значение температуры Ферми.

2. Вычислить значения константы в законе Видемана-Франца в Зоммерфельда.

3. Пересчитать значения параметров для эффекта Зеебека.

4. Найти выражения для теплоёмкости и химического потенциала электронного газа в теории Зоммерфельда при низких температурах с точностью до 2х степеней по температуре. Найти и вычислить значение теплоёмкости электронного газа в теории Зоммерфельда для щёлочных металлах при низких и высоких температурах.

5. Найти сжимаемость К и значение модуля всестороннего сжатия В для щёлочных металлов.

6. Вычислить давление в электронном газе для щёлочных металлов.

3 часть

1. Показать, что средняя скорость электронов в периодическом потенциале на уровне, заданном номером зоны n и волновым вектором k, определяется выражением

Т.е. не зависит от времени. Определить тензор эффективных масс.

2. Рассмотреть движение электронов в периодическом потенциале вида (Дираковская решётка)

3.

Найти энергетические зоны. Исследовать движение электронов в одномерном периодическом потенциале. Рассмотреть случай сильной и слабой проницаемости барьера.

4. Рассмотреть движение электронов в периодическом потенциале вида (модель Кронига-Пенни)

5.

Найти энергетические зоны. Определить значения для верхнего края 1 зоны и нижнего края 2 зоны на границе зон, если

6. Вычислить ширину запрещённой зоны электрона, движущегося в слабом периодическом потенциале для случая, когда 2 уровня свободных электронов близки друг к другу (но далеки от остальных уровней).

7. Показать, что в случае, когда движение в кристалле можно рассматривать как распространение плоской волны , квант соответствует импульсу. Показать, что на кристалл действует внешнее поле, то скорость изменения импульса в зависимости от времени такова, что электрон может рассматриваться как частица, обратная масса которой является тензорной величиной, имеющей компоненты

8. Рассмотреть различия между металлом, полупроводником и диэлектриком с точки зрения структуры их энергетических зон. Схематически изобразить поверхности Ферми двумерного кубического кристалла, который имеет небольшое число носителей эффективных зарядов на атом (полуметалл).

4 часть.

1. Для линейной цепочки с двумя атомами в элементарной ячейки и гармоническим взаимодействием только между ближайшими соседями исследовать характер колебаний для длинноволновых колебаний

и на границе зоны Бриллюзна

2. Найти теплоёмкость квантового кристалла в гармоническом приближении. Определить теплоёмкость такого кристалла в пределах низкой и высокой температур.

3. Найти температур, при которой электронный вклад в теплоёмкость совпадает с фононным. Вычислить значение этой температуры для щёлочных металлов.

4. Выразить (модели Дебая) через и вычислить его значение и значение температуры Дебая для щелочных металлов.

5. Рассмотреть высоко- и низкотемпературный предел теплоёмкости в модели Дебая.

6. Найти теплоёмкость кристалла в модели Эйнштейна.

7. Найти теплоёмкость двумерного кристалла в моделях Эйнштейна и Дебая.

8. Вывести уравнение состояния твёрдого тела в модели Грюнайзена, связать параметр Грюнайзена

С коэффициентом линейного расширения.

9. Найти коэффициент линейного расширения и вычислить для кристалла, движение атома которого описывается моделью линейного ангармонического осциллятора.