Казанский (Приволжский) федеральный университет
Институт вычислительной математики и информационных технологий
Кафедра системного анализа и информационных технологий
Семестровая работа по курсу «Численные методы»:
Интерполирование трансцендентных функций
Вариант 3
Работу выполнила:
студент 3 курса
Группы 09-761
Обрезаненко В.С.
Работу проверила:
Доцент
Глазырина Л. Л.
Казань 2019
Содержание
Постановка задачи 3
Задание 1 4
4
Задание 2 5
Задание 3 7
Вывод 9
Листинг программы 10
Список литературы 16
Постановка задачи
Одна из специальных функций математической физики — функция ошибок, определяется следующим образом
Цель задания – изучить и сравнить различные способы приближенного вычисления этой функции.
Для этого:
Протабулировать erf(x) на отрезке с шагом h точностью , основываясь на ряде Тейлора, предварительно вычислив его
где a = 0, b = 2, h = 0.2, , и получить, таким образом, таблицу
… |
||||
… |
-
По полученной таблице значений построить интерполяционный полином Лагранжа, приближающий
и вычислить погрешность интерполирования
В качестве узлов интерполяции взять:
-
Равномерно распределенные узлы , шаг вычисляется через , где a и b – границы отрезка.
-
Узлы интерполяции Чебышева, вычисляемые по формуле:
.
-
Выявить зависимость максимальной погрешности интерполирования от числа узлов интерполяции.
Задание 1
Протабулируем на отрезке с шагом h с точностью , основываясь на ряде Тейлора, предварительно вычислив его
Чтобы не возникло переполнение при вычислении факториала, учтем, что каждый член ряда получается из предыдущего умножением на некоторую величину , т.е.
Табулирование на отрезке с шагом и точностью реализуется при помощи отдельной функции, параметром которой являются точка x, в которой вычисляется значение самой функции.
Ряд вычисляется с заданной точностью до тех пор, пока |n ()| не будет меньше или равно , при .
Значения функции График функции
|
F |
0 |
0 |
0,2 |
0,222702586 |
0,4 |
0,428392354 |
0,6 |
0,603856097 |
0,8 |
0,7421009298 |
1 |
0,8427007792 |
1,2 |
0,9103140515 |
1,4 |
0,952285172 |
1,6 |
0,9763484347 |
1,8 |
0,9890905681 |
2 |
0,9953223747 |
Задание 2
По прибиженной таблице значений построить интерполяционный полином Лагранжа:
и вычислить погрешность интерполирования
Значения полинома Лагранжа, построенного по равнораспределенным узлам (при n=5) записаны в таблице ниже. При n=5 максимальная по модулю погрешность равна: 0,0006965558258.
График погрешности полинома по равнораспределенным узлам при n=5:
Значения полинома Лагранжа, построенного по чебышевским узлам (n=5). Максимальная погрешность в данном случае: max( 0,004403258497.
График погрешности полинома Лагранжа по чебышевским узлам (n=5):
Задание 3
Необходимо выяснить зависимость максимальной погрешности интерполирования от числа узлов интерполяции. В качестве узлов интерполяции рассмотрим равнораспределенные узлы и корни полинома Чебышева.
График зависимости максимальной погрешности для равнораспределенным узлов:
n |
|
5 |
0,0006965 |
6 |
0,00040089 |
7 |
0,000050763 |
8 |
1,13972E-05 |
9 |
0,00000113 |
11 |
1,847E-07 |
12 |
1,828E-07 |
13 |
0,000000341 |
14 |
6,0158E-07 |
15 |
1,9789E-06 |
24 |
0,000003197 |
29 |
0,00001203 |
38 |
0,0001702 |
39 |
0,000077503 |
41 |
0,005866 |
42 |
0,0155411 |
График зависимости максимальной погрешности для корней полинома Чебышева:
n |
|
5 |
0,000440326 |
6 |
0,000200278 |
7 |
2,82112E-05 |
8 |
8,76107E-06 |
9 |
7,27576E-06 |
11 |
1,29182E-07 |
13 |
1,72171E-07 |
35 |
4,33307E-08 |
44 |
4,267E-08 |
Вывод
В ходе работы, были построены интерполяционные полинома Лагранжа для функции erf(x) с использованием равнораспределенных узлов интерполяции и корней полинома Чебышева степени n+1.
Сравнивая два построенных полинома убедились, что в случае равнораспределенных узлов интерполяции максимальная по модулю погрешность будет гораздо больше, чем для узлов Чебышева.
Если точка совпадает с узлом интерполяции, то погрешность равна нулю, так как значение функции в этой точке совпадает со значением полинома.
Исследование зависимости максимальной погрешности от числа узлов интерполяции позволяет сделать следующий вывод:
-
При равнораспределенных узлах погрешность уменьшается до тех пор, пока количество узлов не станет равно 41. При таком количестве узлов максимальная погрешность резко увеличивается и далее ведет себя не стабильно (то растет, то снова уменьшается).
-
При узлах Чебышева наблюдается равномерное уменьшение погрешности при увеличении количества узлов интерполяции. Чем больше n, тем меньше погрешность. Она уменьшается до определенного момента и дальше удерживается на примерном значении 3,03838Е-08 (порядок остается одинаковым).