17. Первый признак равенства треугольников

В математике каждое утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждений, называется теоремой, а сами рассуждения называются доказатель­ством теоремы.

Теорема:

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Д оказательство:

Рассмотрим треугольники ABC и ∆А₁В₁С₁ у которых

АВ=А₁В₁, АС=А₁С₁, углы A и A₁ равны (рис. 51).

Докажем, что ∆АВС = ∆А₁В₁С₁.

Так как А=A₁, то треугольник ABC можно наложить на треугольник А₁В₁С₁ так, что вершина А совместится с вершиной А₁, а стороны АВ и АС наложатся соответ­ственно на лучи А₁В₁ и А₁С_1. Поскольку АВ =А₁В₁, АС =А₁С₁, то сторона АВ совмес­тится со стороной А₁В₁, а сторона АС — со стороной А₁С₁ в частности, совместятся точ­ки В и В₁, С и C₁. Следовательно, совместят­ся стороны ВС и В₁С₁. Итак, треугольники ABC и А₁В₁С₁ полностью совместятся, зна­чит, они равны. Теорема доказана.

Доказанная теорема выражает признак (равенство у треугольников двух сторон и угла между ними), по которому можно сделать вывод о равенстве треуголь­ников. Он называется первым признаком равенства треугольников.

18. Перпендикуляр к прямой

Р ассмотрим прямую а и точку А, не лежащую на этой прямой (рис. 55). Соединим точку А отрезком с точкой Н пря­мой а. Отрезок АН называется пер­пендикуляром, проведенным из точки А к прямой а, если прямые АН и а перпендику­лярны. Точка Н называется основанием перпендикуляра.

Теорема

И з точки, не лежащей на прямой, можно про­вести перпендикуляр к этой прямой, и при­том только один.

Доказательство

Пусть А — точка, не лежащая на прямой ВС (рис. 56, а). Докажем сначала, что из точки А можно провести перпендикуляр к прямой ВС.

Отложим от луча ВС угол МВС, равный углу ABC, как показано на рисунке 56, а. Так как углы ABC и МВС равны, то первый из них можно наложить на второй так, что стороны ВА и ВС первого угла со­вместятся со сторонами ВМ и ВС второго угла. Наглядно это наложение можно пред­ставить себе как перегибание рисунка по прямой ВС. При этом точка А наложится на некоторую точку А₁ луча ВМ (рис. 56, б). Обозначим буквой Н точку пересечения прямых АА₁ и ВС. Отрезок АН и есть искомый перпендикуляр к прямой ВС. В самом деле, при указанном наложении (перегибании ри­сунка) луч на совмещается с лучом НА₁, поэтому угол 1 совмещается с углом 2. Следовательно, l=2. Но углы 1 и 2 — смежные, значит, каждый из них прямой. Итак, АНВС.

Докажем теперь, что из точки А можно провести только один перпендикуляр к прямой ВС.

Е сли предположить, что через точку А можно провести еще один перпен­дикуляр АН₁ к прямой ВС, то получим, что две прямые АН и AH₁ перпендикулярные к прямой ВС, пересекаются (рис. 57). Но в п. 12 было доказано, что это невозможно. Итак, из точки А можно провести только один перпендикуляр к прямой ВС. Теоре­ма доказана.

Д ля проведения на чертеже пер­пендикуляра из точки к прямой использу­ют чертежный угольник (рис. 58).