- •Раздел 1. Теория пределов.
- •Раздел 2. Дифференциальное исчисление.
- •Раздел 3. Интегральное исчисление.
- •Раздел 1. Теория пределов
- •§1.1. Предел и непрерывность функции
- •Вычисление пределов
- •§ 1.2. Вычисление пределов
- •Раздел 2. Дифференциальное исчисление
- •§ 2.1. Производная
- •§ 2.2. Правила и формулы вычисления производных
- •§ 2.3. Геометрический и механический смысл производной
- •§ 2.4. Производные высших порядков
- •§2.5. Дифференциал
- •§ 2.6. Правило лопиталя
- •§ 2.7. Исследование функций и построение графиков
- •Раздел 3. Интегральное исчисление
- •§ 3.1. Первообразная
- •§ 3.2. Неопределенный интеграл и его свойства
- •§ 3.3. Основные табличные интегралы
- •§ 3.4. Основные методы интегрирования:
- •§3.5. Определенный интеграл и
- •§ 3.6. Основные свойства и вычисление
Раздел 2. Дифференциальное исчисление
§ 2.1. Производная
Определение производной
Правила вычисления производных
П усть дан график непрерывной функции y = f (x) (рис.)
Возьмем на кривой y = f (x) точки М (х; у) и М1 (х1; у1) , где х1 = х + ∆х, у1 = у + ∆у (∆х – приращение аргумента, ∆у – приращение функции). Проведем секущую ММ1, угловой коэффициент которой обозначим через k1, т.е. k1 = tg φ1. Из треугольника ММ1Р находим .
Предположим, что точка М остается неподвижной, а точка М1, перемещаясь по кривой, неограниченно приближается к М. Тогда:
Секущая ММ1 поворачивается вокруг точки М, приближаясь к положению касательной;
х1 → х, а следовательно, ∆х = (х1 – х)→0;
угол φ1 стремится к углу φ между касательной и осью Ох.
Пусть k – угловой коэффициент касательной, т.е. k =tgφ. Так как tg φ1 – непрерывная функция (случай, когда φ1 = , пока исключим из рассмотрения), то .
Итак, угловой коэффициент касательной определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю: .
Производной функции y = f (x) в данной точке х называют предел отношения приращения функции ∆у к соответствующему приращению аргумента ∆х при условии, что ∆х →0, т.е.
Вообще говоря, производная – это «новая» функция, произведенная от данной функции по указанному правилу.
§ 2.2. Правила и формулы вычисления производных
Определение производной четко указывает действия, которые нужно выполнить для ее нахождения, что позволяет непосредственно вычислять производную любой элементарной функции. Непосредственное дифференцирование позволяет вывести основные правила и формулы дифференцирования.
Все правила и формулы дифференцирования сведем в таблицу и в дальнейшем будем пользоваться ею, подобно тому, как в арифметике пользуются таблицей умножения.
Пример 1. Найти производную функции у = х3 + 6х. Решение: у/ = (х3 +6х)/ = (х3)/ + (6х)/ = 3х2 + 6. Пример 2. Найти производную функции . Решение: Используя определение степени с отрицательным показателем, преобразуем данную функцию к виду 1 / х3 = х -3. Тогда получим у / = (х -3) / = -3 х -3 -1 = -3 х -4 = . Пример 3. Продифференцировать функцию у = 2х 3 (х6 – 1). Решение: 1 способ: используя правило IV, получим
2 способ: Предварительно преобразуем данную функцию: 2х 3 (х6 – 1)= 2х 9 – 2х 3. . Пример 4. Продифференцировать функцию . Решение: . Пример 5. Найти производную функции у = (х2+3х)5. Решение: Составляющими функции являются у = и5, и = х2 +3х. Согласно правилу VII, находим .
Пример 6. Продифференцировать функцию y = sin2x. Решение: Порядок следования промежуточных функций таков: y = sin u, u = 2x.. Находим y/ = cos 2x (2x)/ = 2cos2x.
|