3.3. Производная в экономическом анализе.

1. Задача получения максимальной прибыли. Если рассматривать прибыль как разницу между доходом R и издержками С, зависящими от объема произведенной продукции , то . Прибыль – функция объема продукции.

Найдем критические точки функции прибыли. В них , значит (1)

Поскольку нас интересует максимум, то вторая производная функции прибыли, согласно второму достаточному условию экстремума, должна быть при этом отрицательна , то есть (2)

Таким образом, оптимальный объем выпуска продукции, обеспечивающий максимум прибыли, находится из равенства предельного дохода предельным издержкам, при котором выполняется неравенство (2). То есть максимум прибыли обеспечивает объем продукции, удовлетворяющий системе .

П р и м е р 1. Фирма осваивает два рынка, один рынок внутренний, а другой связан с экспортными поставками. Пусть кривые спроса имеют вид – , , где нижние индексы относятся к первому и второму рынкам соответственно. Суммарные издержки равны , где .

Какую ценовую политику должна проводить фирма, чтобы прибыль была максимальной?

► Найдем предельные издержки, одинаковые для обоих рынков

Доход для первого рынка равен (3)

Предельный доход для первого рынка равен

Согласно (1), , значит . Из (3) следует, что , так как , и –2 < 0, то ,согласно (2), при такой цене и таком объеме продукции фирма получит максимальную прибыль на первом рынке.

Аналогично, вычисляем оптимальный объем и цену на втором рынке.

,

Итак, расчеты показывают, что для получения максимальной прибыли следует на внутренний рынок поставить 240 ед. продукции по цене 260 ден. ед., на внешнем рынке реализовать ед. по 190 ден. ед. за единицу продукции.

При этом фирма получит максимальную прибыль, равную

2. Критерий оптимальной численности персонала фирмы. Численность персонала фирмы считается оптимальной, если она обеспечивает максимум средней эффективности труда работающего. Пусть производственная функция, связывающая выпуск продукции Q с численностью персонала .

Тогда средняя эффективность труда работника равняется

Чтобы найти число работающих, при котором средняя эффективность труда является максимальной, достаточно найти max функции .

Найдем критические точки функции :

если То есть, если число работающих  l удовлетворяет условию , то функция обнаруживает максимум. В условиях рассматриваемой задачи найденная критическая точка непременно точка максимума.

Полученный результат представляет собой критерий оптимальной численности персонала фирмы: число работающих должно быть таким, чтобы средняя эффективность труда работающего равнялась предельной эффективности.

Найти функцию эластичности и вычислить ее значение в указанной точке (№№ 134 – 141).

134. , . 135. , .

136. , . 137. , .

138. , . 139. , .

140. , . 141. , .

Спрос q является функцией цены p, В большинстве случаев функция спроса относительно цены есть функция убывающая, поэтому за эластичность спроса принимается

Найти функцию эластичности спроса и вычислить ее значение при заданных ценах (№№ 142 – 144).

142. . 143.

144.

Спрос q является функцией дохода r ,

► Вычислить значение эластичности спроса при заданном уровне дохода (№№ 145 – 147).

145. 146.

147.

Предложение s есть функция цены р ,

Найти функцию эластичности предложения относительно цены, вычислить значение эластичности при заданной цене (№№ 148 – 150).

148. 149.

150.

Определить цену равновесия и вычислить эластичность спроса и предложения для данной цены (№№ 151 – 154).

151. 152.

153. 154.

Некоторая фирма производит х единиц продукции в месяц и суммарные издержки ее производства составляют . Зависимость между ценой р и количеством продукции х, которую можно продать по этой цене известна. При каких условиях производства прибыль фирмы максимальна? (№№ 155 – 158).

155 . 156.

157. 158.

Некоторая фирма производит х единиц продукции в месяц и ее средние издержки равны П. Зависимость между ценой р и количеством продукции х известна. При каком объеме производства прибыль максимальна (№№ 159 – 162)

159. . 160.

161. . 162. .

Фирма производит х единиц продукции в месяц и ее суммарные издержки . Рассчитать , при каком объеме производства средние издержки производства минимальны (№№ 163 – 166).

163. 164.

165. 166.

167. Cахарный завод производит х единиц продукции в месяц, а суммарные издержки производства . Зависимость между ценой р и количеством единиц продукции х, которую можно продать по этой цене, такова: р(х)= . Рассчитать, при каких условиях прибыль будет максимальной.

168. Функция спроса и предложения S от цены p задаются соответственно уравнениями q=7–p и S=p+1. Найти: а) равновесную цену; б) эластичность спроса и предложения для этой цены; в) изменение дохода (в процентах) при увеличении цены на 5% от равновесной.

⁾ Сложная функция может быть результатом наложения любого конечного числа элементарных функций – 2-х, 3-х и т. д.

⁾ Асимптотическое приближение к особым прямым характерно для таких элементарных функций как показательная, логарифмическая, тригонометрическая и обратная тригонометрическая .