Лекция №7. Основные виды математических моделей, применяемых в геологии

Моделирование вообще и математическое моделирование в частности является эффективным средством изучения геологических систем, объектов и событий. Каждая модель служит некоторым их отражением и характеризует наиболее существенные особенности.

Модели можно разделить на материальные, аналоговые и символьные (рис.3).

Материальные модели представляют собой выполненные в определенном масштабе макеты геологических объектов. Например, существуют материальные модели кристаллических решеток минералов, модели идеальных кристаллов с различными наборами граней, морфологические модели рудных тел и др.

Аналоговые модели основаны на замене природных геологических процессов, явлений другими, воспроизводимыми в лаборатории, процессами, которые описываются одинаковыми математическими правилами и уравнениями. Например, движение подземных вод, процессы переноса в них вещества, явление диффузии и многие другие можно моделировать движением электрического тока в аналоговых устройствах.

Символьные модели, которые делятся на графические и математические, имеют особое значение при математическом моделировании. К графическим моделям относятся разнообразные геологические карты, разрезы, проекции, схемы и графики. Они позволяют наглядно изобразить геологические объекты и характеристики их свойств, а также дать интерпретацию многих операций математического моделирования.

Математические модели можно разделить на три группы. В первой группе анализируются характеристики в пределах однородных совокупностей свойств объектов вне связи их с пространственным размещением, это группа статистических моделей. Они бывают одномерные, двухмерные и многомерные.

Во второй группе учитываются пространственные координаты пунктов наблюдений, что позволяет изучать пространственные геологические поля. Модели делятся на детерминированные и вероятностные. В детерминированных моделях предполагается, что состояние системы однозначно определяется исходными или начальными данными и полностью предсказуемо в пространстве. Вероятностные модели характеризуются тем, что состояние системы и прогнозные значения свойств геологических объектов неоднозначно зависят от начальных или исходных данных и могут быть предсказаны с какой-то вероятностью в определенном диапазоне значений.

Третья группа охватывает случайные процессы, в которых учитывается фактор времени.

1. Одномерная статистическая модель

В основе одномерной статистической модели лежат три гипотезы: а) измеренные значения х₁, х₂, ..., х_n носят случайный характер; б) они не зависят друг от друга; в) значения образуют однородную совокупность. Измеренные значения принято называть реализациями случайной величины х.

Гипотеза о случайном характере свойств обусловлена тем, что природные геологические системы и объекты являются весьма сложными, на каждое измеренное значение влияет множество разнонаправленных факторов. Кроме того, каждое измерение сопровождается случайной погрешностью. Данная гипотеза позволяет применять для математической обработки значений х₁, х₂, …, х_n аппарат (теоремы, формулы, уравнения, законы) теории вероятностей.

Вторая гипотеза о независимости измеренных значений менее очевидна. Она предполагает, что на результат каждого отдельного измерения не влияют результаты предыдущих или соседних измерений. Из этой гипотезы вытекает важное следствие, что для математической обработки не существенно пространственное размещение пунктов наблюдений, т.е. результаты измерений можно располагать в любом порядке, на выводы это не влияет. Эта гипотеза не всегда соответствует действительности: соседние измерения нередко зависят друг от друга, что можно проверить с помощью специального математического аппарата.

Статистическая обработка результатов измерений имеет смысл лишь только для однородных совокупностей, что лежит в основе третьей гипотезы. Если совокупность неоднородная, то ее необходимо разделить на однородные совокупности и каждую из них исследовать отдельно.