Определение

Сочетанием из n элементов по m элементов n-элементного множества D называется всякая совокупность, состоящая из m элементов D.

Если множество D неизвестно или не уточняется, то говорят о размещениях из n по m.

Так же, как и для размещений, предполагается, что m  0. Если m = 0, то такое сочетание не содержит элементов, т.е. является пустым множеством.

Как следует из приведенного определения в сочетаниях, в отличие от размещений, важен только состав входящих в них элементов, которые в составе сочетания не различаются между собой.

Сочетания могут быть с повторениями и без них.

В сочетании без повторений все элементы совокупности являются разными. Для существования таких сочетаний необходимо выполнение дополнительного условия n  m. Всякое такое сочетание может рассматриваться как подмножество того множества, из которого выбираются элементы сочетания. Поэтому множества всех сочетаний без повторений некоторого конечного множества и множество подмножеств этого множества равны.

Из приведенных определений следует, что в сочетании с повторениями могут содержаться одинаковые элементы. Поэтому сочетания без повторений одновременно являются и сочетаниями с повторениями.

Рассмотрим примеры сочетаний

Если покупатель оплачивает сделанную в магазине покупку, то совокупность передаваемых кассиру денег может рассматриваться как:

1. сочетание без повторений, если оплата осуществляется только банкнотами, каждая из которых имеет уникальный номер;

2. сочетание с повторениями, если оплата осуществляется монетами, среди которых могут встречаться неотличимые монеты одного достоинства.

Выведем формулы для определения числа сочетаний из n по m с повторениями и без повторений.

1.Число сочетаний без повторений из n по m.

Пусть D это некоторое множество, состоящее из n элементов. Рассмотрим все размещения без повторений из n по m, составленные из элементов этого множества. Число таких размещений равно .

Компоненты каждого такого размещения определяют некоторое сочетание без повторений из n по m, составленное из элементов этого размещения. При этом размещения, отличающиеся лишь порядком вхождения значений, образуют одно и то же сочетание.

Поскольку размещения, соответствующие одному и тому же сочетанию являются перестановками элементов этого сочетания, то всякое сочетание порождается m! различными размещениями. Обозначим число сочетаний из n по m без повторений как .

Поэтому имеет место равенство m! = .

Следовательно, справедлива следующая формула для числа сочетаний без повторений: = .

Пусть D  это произвольное множество, содержащее n элементов. Тогда число mэлементных подмножеств этого множества равно . Значит число всех различных подмножеств данного множества равно + + ... + .

С другой стороны, поскольку число подмножеств nэлементного множества равно 2ⁿ, то для сочетаний без повторений справедливо равенство:

+ + ... + = 2ⁿ.

Упражнение

Используя комбинаторные доводы доказать справедливость равенств:

1. (1 - x)^r = x⁰ + ... + (1)ⁱ xⁱ+ ... + (1)^r x^r.

2. = .

2. Число сочетаний с повторениями из n по m .

Пусть D = {a₁, ... , a_n}  некоторое множество. Сочетания с повторениями, содержащие по m элементов этого множества, будем представлять двоичными последовательностями длины n + m  1, составленными из m нулей и n  1 единиц.

Двоичная последовательность, сопоставляемая отдельному сочетанию, состоит из n групп последовательно идущих нулей разделенных, n  1 единицами.

В i-й группе нулей, отсчитываемой слева направо, столько нулей, сколько экземпляров элемента a_i входит в выбранное сочетание. Если некоторый элемент не входит в сочетание без повторений ни одного раза, то соответствующая ему группа нулей окажется пустой.

Например, если A = {a₁, a₂, a₃, a₄}, то сочетание с повторениями, содержащее 2 элемента a₁, 3 элемента a₂ и 2 элемента a₄ представляется двоичным набором:

(0 0 1 0 0 0 1 1 0 0).

Покажем, что определенное ранее соотношение между сочетаниями с повторениями из n по m и двоичными последовательностями длины n + m  1, содержащими по m нулей, является биективным.

Всякая двоичная последовательность длины n + m  1, содержащая m нулей, разбивается входящими в неё единицами на n последовательно идущих групп нулей, определяющих количества вхождений элементов a₁, ... , a_n в m элементное сочетание с повторениями. Следовательно, соотношение сочетаний с повторениями и двоичных последовательностей является сюрьективным.

Покажем, что если  = ₁, . . . , _m+n1 и  = ₁, . . . , _m+n1  две разные двоичные последовательности, то они представляют разные сочетания с повторениями. Пусть V₁, . . . , V_n и W₁, . . . , W_n  последовательности групп нулей разделенных единицами в последовательностях  и . Тогда найдется такое i, что V_i  W_i. В противном случае  и  оказываются равными. Следовательно, соотношение сочетаний с повторениями и двоичных последовательностей является инъективным.

Поэтому, число сочетаний с повторениями из n по m равно числу рассматриваемых двоичных последовательностей.

Легко проверить, что последних ровно столько, сколько имеется различных способов выбора из n + m  1 позиций в двоичных последовательностях, таких n  1 позиций, в которые записываются единицы. В каждом случае остальные позиции последовательности заполняются нулями.

Число способов выбора различных n  1 позиций, если имеется n + m 1 разных позиций, равно: .

Для обозначения числа сочетаний с повторениями из n по m применяется запись . Поэтому справедлива формула:

= _.

Рассмотрим несколько примеров задач, приводящих к использованию сочетаний с повторениями.

1. Определить число способов составления букета из 7 гвоздик, если имеются гвоздики трех цветов.

Очевидно, что букеты как комбинаторные объекты представляют собой сочетания с повторениями из 3 по 7. Поэтому число различных букетов равно .

2. Пусть имеется n одинаковых книг. Сколько может быть способов расстановки таких книг на шести полках книжного шкафа?

Очевидно, что всякая расстановка книг на полках соответствует сочетанию с повторениями из 6 элементов по n. В таком сочетании содержатся номера полок. Число вхождений номера некоторой полки в сочетание равно количеству книг, помещенных на эту полку.

Поэтому число указанных расстановок книг на полках равно .