2. Особые случаи расположения плоскости в пространстве

Следующие утверждения проверяются непосредственно.

Если в общем уравнении (2) плоскости отсутствует переменная то эта плоскость параллельна оси Аналогичное утверждение справедливо относительно и других переменных

Если в общем уравнении (2) отсутствует свободный член то соответствующая плоскость проходит через начало координат

Простейшие уравнения являются уравнениями координатных плоскостей соответственно.

3. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Угол между двумя плоскостями

Пусть даны две плоскости Эти плоскости будут параллельны или перпендикулярны друг другу, если будут параллельны (соответственно перпендикулярны) их нормальные векторы Вспоминая условия коллинеарности и перпендикулярности векторов, получаем следующие утверждения.

Замечание 1. Если то плоскости и совпадают.

Углом между двумя плоскостями называется двугранный угол между ними. Таких углов четыре, вертикальные из них попарно равны. Ясно, что один из них равен углу между нормалями и Используя скалярное произведение между векторами, найдем этот угол:

Другой двугранный угол будет равен

4. Решение различных задач на плоскость

Используя скалярное, векторное и смешанное произведение векторов, легко обосновать следующие утверждения.

Уравнение плоскости, проходящей через две заданные точки перпендикулярно плоскости , имеет вид

Уравнение плоскости, проходящей через две заданные точки перпендикулярно двум плоскостям имеет вид

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки не лежащие на одной прямой, имеет вид

Действительно, последнее равенство есть условие компланарности векторов а,значит, их смешанное произведение что и записано с помощью определителя выше.

5. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости

Пусть дано общее уравнение плоскости

Определение 1. Число где знак берется противоположным знаку

свободного члена называется нормирующим множителем плоскости Уравнение

называется нормальным уравнением плоскости

Нетрудно доказать следующее утверждение.

Теорема 2. Если фиксированная точка, то её расстояние до плоскости вычисляется по формуле т.е. равно по модулю результату подстановки координат точки в левую часть нормального уравнения плоскости

Пример 1. Найти расстояние от точки до плоскости

Решение. Нормирующим множителем для данной плоскости будет

Он противоположен по знаку свободному члену Значит, нормальное уравнение плоскости будет таким: а расстояние от точки до плоскости будет равным

Замечание 2. Величина называется отклонением точки от плоскости Можно показать, что если то точка и начало координат находятся по одну сторону от плоскости если же то точки и находятся по разные стороны от плоскости если же то Заметим также, что часто нормальное уравнение плоскости записывают в виде

где Тогда направляющие косинусы нормали к плоскости.