2. Системы счисления

В результате изучения данной темы Вы будете:

• знать, что такое системы счисления, каких видов они бывают;

• иметь представление о применяемых системах счисления в компьютерной технике.

Совокупность приемов наименования и записи чисел называется счислением. Под системой счисления понимается способ представления любого числа с помощью огра­ниченного алфавита символов, называемых цифрами. Счисление представляет собой частный случай кодирования, где слово, записанное с использованием определенного алфавита и по определенным правилам, называется кодом. Применительно к счисле­нию это код числа.

Различают позиционные и непозиционные системы счисления. В непозиционных системах счисления каждое число обозначается соответствующей совокупностью символов. Характерным представителем непозиционных систем является римская система счисления со сложным способом записи чисел и громоздкими правилами выполнения арифметических операций. Например, запись MCMXCVIII означает число 1998 (М – тысяча, C – сто, Х – десять, V – пять, I – единица и т. д.).

Позиционные системы счисления обладают большими преимуществами в нагляд­ности представления чисел и в простоте выполнения арифметических операций.

В позиционной системе счисления значение числа определяется не только набором входящих в него цифр, но и их местом (позицией) в последовательности цифр, изобра­жающих это число, например, числа 127 и 721.

Количество цифр, используемых в позиционной системе счисления, называется ее основанием. Его обозначают обычно буквой q. В десятичной системе счисления ис­пользуется десять цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, и основанием системы является число десять.

В общем случае в позиционной системе счисления с основанием q любое чис­ло Х может быть представлено в виде полинома разложения (суммы) ( 1 .1):

(1.1)

где, X_(q) – запись числа в системе счисления с основанием q;

q – основание системы счисления;

х_i – целые числа, меньше q;

n – число разрядов (позиций) в целой части числа;

m – число разрядов в дробной части числа.

Например, десятичное число 429,673 можно представить как:

429,673₍₁₀₎ = 4·10² + 2·10¹ + 9·10⁰ + 6·10^-1 + 7·10^-2+3·10^-3

Для обозначения используемой системы счисления ее основание указывается в ин­дексе в круглых скобках (в нашем примере, это 10). Изображение числа Х в виде последовательности коэффициентов полинома (х_i) – является его условной сокращенной записью (кодом):

(1.2)

Запятая такой записи отделяет целую часть числа от дробной и служит началом отсчета значений веса каждой позиции (разряда). Т.е., число 429,673₍₁₀₎ является условно сокращенной записью полинома 4·10² + 2·10¹ + 9·10⁰ + 6·10^-1 + 7·10^-2+3·10^-3.

В компьютерах применяются позиционные системы счисления с недесятичным основанием: 2, 8 и 16. Соответствующие системы счисления называются двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной.

Двоичное представление числа требует примерно в 3,3 раза большего числа разря­дов, чем его десятичное представление. Тем не менее, применение двоичной системы счисления создает большие удобства для работы ЭВМ, т. к. для представления в машине разряда двоичного числа может быть использован любой запоминающий элемент, име­ющий два устойчивых состояния.

Наибольшее распространение получила двоичная система счисления. В этой систе­ме для представления любого числа используются две цифры – цифры 0 и 1. Основа­ние системы счисления q = 2.

Произвольное число с помощью формулы ( 1 .1) можно представить в виде разложе­ния по степеням двойки:

Тогда условная сокращенная запись в соответствии с ( 1 .2) означает изображение числа в двоичной системе счисления (двоичный код числа), где х_i = 0 или 1. Например:

13₍₁₀₎ = 1·2³ + 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰ = 1101₍₂₎

В восьмеричной системе счисления используют 8 цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7. Основание системы счисления q = 8. Для записи произвольного числа в восьме­ричной системе счисления необходимо по формуле ( 1 .1) найти его разложение по сте­пеням восьмерки, а затем воспользоваться условной сокращенной записью ( 1 .2). Например:

28₍₁₀₎ = 3·8¹ + 4·8⁰ = 34₍₈₎

В шестнадцатеричной системе счисления используют цифры: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,А,В,С,D,Е,F. Основание системы счисления q = 16. Для записи произвольного числа в этой системе счисления необходимо по формуле ( 1 .1) найти его разложение по степеням 16, а по формуле ( 1 .2) – код. Например:

75₍₁₀₎ = 4·16¹ + В·16⁰ = 4В₍₁₆₎

В дальнейшем, для записи шестнадцатеричных чисел будет применяться суффикс h. Например: AE24h, DEFAh, 1234h и т.д.

Для сравнения приведены коды одних и тех же чисел в разных системах счисления (Таблица 1 .1).

X(10)	0	1	2	3	4	5	6	7	8
X(2)	0	1	10	11	100	101	110	111	1000
X(8)	0	1	2	3	4	5	6	7	10
X(16)	0	1	2	3	4	5	6	7	8
X(10)	9	10	11	12	13	14	15	16	17
X(2)	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111	10000	10001
X(8)	11	12	13	14	15	16	17	20	21
X(16)	9	А	В	С	D	Е	F	10	11

Таблица 1.1. Коды чисел в различных системах счисления

Из Таблица 1 .1 видно, что

15₍₁₀₎ = 1111₍₂₎ = 17₍₈₎ = F₍₁₆₎

Подведем итоги

• счислением называется совокупность приемов наименования и записи чисел;

• под системой счисления понимается способ представления любого числа с помощью цифр;

• различают позиционные и непозиционные системы счисления;

• в компьютерах применяются позиционные системы счисления с недесятичным основанием: 2, 8 и 16.

Вопросы для самоконтроля

1. Вспомните основные понятия. Что такое счисление, системы счисления, код числа, цифра?

2. Назовите виды систем счислений. В чем заключаются их различия? Назовите преимущества позиционных систем счисления.

3. Что такое основание системы счисления? Почему в вычислительной технике удобнее использовать двоичную систему счисления, а не десятичную?

4. К

   

   акие из следующих цепочек символов являются шестнадцатеричными числами? CAB, BED, DEAD, DECADE, BAG, DAD, ACCEDED.

Индивидуальные задания

1. Попробуйте перевести в десятичную систему счисления числа: 1010001₍₂₎, AE12F₍₁₆₎, 4375₍₈₎, 5432₍₆₎, 34521₍₉₎

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Напишите первые десять положительных целых чисел в семеричной системе счисления:

_____________________________________________________________________________________

3. Напишите основания систем счисления (q <= 10) к которым могут относится следующие числа: 123, 90, 101, 425, 754, 80101, 1301.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________