- •1.Основные понятия теории множеств.Объед., пересеч.Св-ва.Nqzrc.Кванторы.
- •3.Функция.Возр, убыв., монотонная, огр сверху, снизу.Огр.Функция.
- •4.Основные элементраные функции.
- •6.Геометрический смысл предела последовательности
- •7.Теорема о единственности предела сходящ.Посл.(док-ть)
- •9.Необходимое усл. Сущ. Предела(с док-вом)
- •10.Беск малые посл-ности.Опр.1-2.
- •12.Произведение беск.Малой посл.На огранич.
- •14.Теорема о пределе суммы 2-х сходящихся последовательностей.
- •18) Предел функции. Определение. Теорема о пределах функции. Геометрический смысл.
- •23. Точки разрыва.
- •41.Формула Лейбница.
- •43) Дифференциал. Определение. Геометрический смысл
- •53) Формула Тейлора.
- •60. Асимптоты кривой. Вертикальные, наклонные. Условия их существования.
41.Формула Лейбница.
Если функ-я y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и F(x)-какая-либо ее первообразная на [a;b] (F’(x)=f(x)), то имеет место формула dx = F(b)-F(a). Если ввести обозначения F(b)-F(a)=F(x) , то фор-лу можно переписать так: dx = F(x) =F(b)-F(a). Формула Н.Л. дает удобный способ вычисления определенного интеграла. Чтобы вычислить определенный интеграл от непрерывной функции f(x) на отрезке [a;b], надо найти ее первообразную функцию F(x) и взять разность F(b)-F(a) значений этой первообразной на концах отрезка [a;b].
42. Определение касательной и нормали к плоской кривой. Вывод их уравнений.
Касательной к данной кривой в данной на ней точке M0 называется предельное положение секущей при условии, что точка M1, перемещаясь по этой кривой, неограниченно приближается к точке M0.
Рассм. M0CM1: M0(x0;y0) M1(x1,y1)
tg=M1C/M0C M0C=x1-x0=x M1C=y1-y0=y
Нормалью данной кривой в данной на ней точке называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно касательной в этой точке.
43) Дифференциал. Определение. Геометрический смысл
y=f(x)
Д еференцалом функции y=f(x) называют произведение производной на приращение аргумента.
Деференцыал есть приращение аргумента касательной проведенной в данной точке исслед. Функции
где E- б. при d при
Док-во:
и
большего порядка, чем
б. м. ф. более высокого порядка чем
Приращение деференциалов приблизительно.
53) Формула Тейлора.
1)Для многочлена:
Пусть фун-я f(x) есть многочлен Pn(x) степени n:
f(x) = Pn(x) = a0+a1x+a2x2+…+anxn – Преоб-ем этот многочлен также в мн-н степени n относ-но разности x-x0, где x0 – произвол-е число т.е. представим Pn(x) в виде:
Pn(x) = A0+A1(x-x0)+A2(x-x0)2+…+An(x-x0)n (*)
(x) = A1+2A2(x-x0)+3A3(x-x0)2+…+nAn(x-x0)n-1
(x) = 2A2+23A3(x-x0)+…+n(n-1)An(x-x0)n-2
…………………………………..
(x) = n(n-1)(n-2)…21An.
Pn(x0) = A0 A0 = Pn(x0),
(x) = A1 A1 = (x)/1!
(x) = 2A2 A2= (x)/2!
……………………………………
(x0) An= (x0)/n!
Pn(x) = Pn(x0)+ (x-x0)+ (x-x0)2+…+ (x-x0)n – Ф-ла Тейлора.
2)Для произвольной функции.
f(x) = f(x0)+ (x-x0)+ (x-x0)2+…+ (x-x0)n+Rn(x),
где Rn(x) – остаточный член фор-лы Тейлора записанным в форме Лагранжа:
Rn(x) = (x-x0)n+1 c лежит м/д 0 и x
Rn(x) – есть погрешность приближенного равенства f(x) Pn(x). ф.Т-ра. Дает возможность заменить ф. y = f(x) многоч-ом y = Pn(x) с соответ-щей степен. точности,
Равной знач-ю остат-го члена Rn(x).
При x0=0 получаем частный случай ф.Тейлора – ф.Маклорена:
f(x) = f(0)+ x2+…+ xn+ xn+1,
где c находится м/д 0 и x (c = x, 0<<1).
60. Асимптоты кривой. Вертикальные, наклонные. Условия их существования.
Асимптотой данной кривой называется такая прямая, что расстояние от точки на кривой до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат.
Вертикальные асимптоты - асимптоты, параллельные оси ординат. Если функция f(x) в точке x0 имеет бесконечный разрыв, то уравнение x=x0 есть уравнение вертикальной асимптоты графика этой функции.
Наклонные (невертикальные) асимптоты - асимптоты, не параллельные оси oy. Кривая, заданная уравнением y=f(x) имеет невертикальную асимптоту, определяемую уравненем y=kx+b, тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы
и
(или соответственно при x-)