4. Метод узловых напряжений
4.1 Основные теоретические положения
Метод узловых напряжений заключается в определении на основании первого закона Кирхгофа потенциалов в узлах электрической цепи относительно некоторого базисного узла. Базисный узел в общем случае выбирается произвольно, потенциал этого узла принимается равным нулю. Разность потенциалов рассматриваемого и базисного узлов называется узловым напряжением.
Положительное направление узловых напряжений указывается стрелкой от рассматриваемого узла к базисному.
Число уравнений, составляемое по методу узловых напряжений, равно
|
(4.1) |
где
– количество узлов цепи,
– количество идеальных источников
Э.Д.С.
Для
произвольной схемы, содержащей
узлов, система уравнений по методу
узловых напряжений имеет вид:
|
(4.2) |
где
– собственная проводимость узла
.
–
взаимная
проводимость ветви, соединяющей узлы
.
Собственная проводимость узла равна сумме проводимостей ветвей, сходящихся в данном узле.
Взаимная проводимость равна сумме проводимостей ветвей, соединяющих данные узлы.
Выражение, стоящее в правой части уравнений системы, называют «узловой ток».
Узловой
ток (теоретическое понятие) – это
алгебраическая сумма произведений
и
источника тока (если они есть) всех
ветвей, примыкающих к рассматриваемому
узлу. Слагаемое входит в выражение со
знаком «+», если Э.Д.С. и источник тока
направлены к узлу. В противном случае
– ставится знак «–».
Из системы (4.2) видно, что собственные проводимости входят в уравнения со знаком «+», а взаимные проводимости – со знаком «–».
Алгоритм расчета электрических цепей по методу узловых напряжений:
1) Выбираем базисный узел. Желательно нулевой потенциал присвоить тому узлу, где сходится большее количество ветвей.
Запомнить! Если в составе цепи имеется одна или несколько ветвей, содержащих идеальные Э.Д.С. (сопротивление таких ветвей равно нулю), то за базисный принимают один из узлов, между которыми находится ветвь с идеальной Э.Д.С.
2) Составляется система уравнений для неизвестных узловых напряжений в соответствии с общей структурой этих уравнений (4.2).
3) Решая данную систему, находят напряжения узлов относительно базиса.
4) Токи ветвей определяют по обобщенному закону Ома:
.
Частным случаем метода узловых напряжений является метод двух узлов. Если схема содержит только два узла, то в соответствие с методом узловых напряжений (в отсутствие идеальных Э.Д.С.) составляется только одно уравнение:
|
|
.
4.2 Примеры расчета линейных электрических цепей методом узловых напряжений
Пример 4.1
Рис. 4.1 |
Дано:
|
;
;
;
;
;
Определить все токи в схеме рис. 4.1
методом узловых напряжений.Решение
Цепь содержит три узла, ветви с идеальными Э.Д.С. отсутствуют. Число необходимых уравнений, определяемое по формуле (4.1), равно двум. В качестве базисного выбираем третий узел.
Система уравнений имеет вид:
,
где
;
;
;
;
.
В результате решения определяем:
;
.
Токи ветвей определяем по обобщенному закону Ома:
;
;
;
;
.
Правильность решения задачи целесообразно проверить составлением и расчетом баланса мощностей.
Уравнение баланса мощностей:
;
;
.
Мощность приемников равна мощности потребителей, т.е. баланс мощностей выполняется.
Проверим выполнение второго закона Кирхгофа для внешнего контура.
Второй закон Кирхгофа:
;
;
.
Ответ:
,
,
,
,
.
Пример 4.2
|
Дано:
|
Рис. 4.2 |
;
;
;
;
;
;
;
;
.Определить токи в схеме рис. 4.2 методом узловых напряжений.