- •Практичне заняття № 1
- •Хід заняття
- •І. Розв’язування вправ
- •Іі Завдання додому
- •Практичне заняття № 2
- •Хід заняття
- •І Розв’язування вправ
- •Iі Завдання додому
- •Практичне заняття № 3
- •Хід заняття
- •І. Розв’язування вправ.
- •Іі. Завдання додому.
- •1. Лінійна модель міжнародної торгівлі.
- •Практичне заняття № 4
- •Хід заняття
- •І Розв’язування вправ.
- •Iі Завдання додому
- •Практичне заняття № 5
- •Хід заняття
- •І Розв’язування вправ
- •Додатково:
- •Iі Завдання додому
- •Практичне заняття № 6 Тема: Обчислення рангу матриці. Теорема Кронекера - Капеллі
- •Хід заняття
- •І Розв’язування вправ.
- •Іi Завдання додому
- •Практичне заняття № 7
- •Хід заняття
- •І Розв’язування вправ
- •Iі Завдання додому
- •Практичне заняття № 8
- •Хід заняття
- •І Розв’язування вправ
- •Iі Завдання додому
- •Практичне заняття № 9
- •Хід заняття
- •І Розв’язування вправ
- •Iі Завдання додому
- •Практичне заняття № 10
- •Хід заняття
- •І. Актуалізація опорних знань студентів
- •Іі. Розв’язування вправ
- •Ііі Підведення підсумку заняття іv. Завдання додому
- •Практичне заняття № 11
- •Хід заняття
- •І Розв’язування вправ
- •Iі Завдання додому
- •Практичне заняття № 12
- •Хід заняття
- •І Розв’язування вправ
- •Iі Завдання додому
- •Практичне заняття № 13
- •Хід заняття
- •І Розв’язування вправ
- •II Завдання додому
- •Ііі. Підведення підсумків заняття іv. Завдання додому
- •Іі Доповнення до лекції “Частинні похідні вищого порядку”
- •Іiі Розв’язування вправ
- •Іv Завдання додому
- •Практичне заняття № 16
- •Хід заняття і. Розв`язування вправ
- •Практичне заняття № 17
- •Хід заняття
- •І Актуалізація опорних знань (фронтальне опитування).
- •Іі Розв’язування вправ.
- •Ііі Підведення підсумків заняття
- •IV Завдання додому
- •Практичне заняття № 18
- •Хід заняття
- •Правило позначення через “u” I “dv”
- •І Розв’язування вправ.
- •Iі Завдання додому
- •Практичне заняття № 19
- •Хід заняття
- •Хід заняття
- •І. Розв’язування вправ
- •Iі. Завдання додому
- •Практичне заняття № 21
- •Хід заняття і Розв’язування вправ
- •Іi Завдання додому
- •Практичне заняття № 22
- •Хід заняття
- •І. Розв’язування вправ
- •Iі. Завдання додому
- •Іiі Завдання додому
- •Іі Розв’язування вправ
- •Ііi Завдання додому
- •Іiі Завдання додому
- •Практичне заняття № 30
- •Хід заняття
- •І Розв’язування прав.
- •Iі Завдання додому
- •Задачі економічного змісту
ВСТУП
Успішне вирішення завдань, які становить ринкова економіка, тісно пов’язане з використанням математичних методів, моделей та алгоритмів, а також сучасних комп’ютерних технологій. Загальний напрямок розвитку сучасної економічної науки потребує впровадження точних математичних методів для управління економічними процесами в усіх сферах господарської діяльності та бізнесу. Разом із сучасними комп’ютерними технологіями математичні методи все активніше використовуються в банківській і фінансовій сферах, у сферах маркетингу, бухгалтерській і страховій справах. Володіння математичними методами набуває особливого значення у зв’язку з необхідністю формування у випускників вищих навчальних закладів вмінь та навичок, які б допомагали їм вирішувати складні економічні проблеми.
Завдання до практичних занять розроблені відповідно до програм, рекомендованих Міністерством освіти і науки, молоді та спорту України, охоплюють повний курс дисципліни «Вища математика» за модулями освітньо-професійних програм підготовки бакалаврів за напрямом підготовки «Економіка та підприємництво».
Практичні заняття передбачають набуття навичок, необхідних для розв’язання теоретичних і практичних завдань економіки і застосуванням математичного апарату досліджень; побудови економіко-математичних моделей; подальшого вивчення студентами дисциплін циклу природно-наукової підготовки, таких як теорія ймовірностей та математична статистика, економетрика, статистика, економічна статистика, а також дисциплін циклу професійної та практичної підготовки, таких як бухгалтерський облік, фінанси підприємств, економічний аналіз, контроль і ревізія, банківські операції та ін.
Практичне заняття № 1
Тема: Обчислення визначників за допомогою їх властивостей
Мета: сформувати вміння та навики обчислення визначників різними
методами, в т.ч. з використанням їх властивостей
Хід заняття
Визначником - порядку називається число, яке знаходиться з елементів ) квадратної таблиці з n рядками та n стовпцями за певним правилом. Загальним методом знаходження визначника є метод Лапласа:
; ,
де - алгебраїчне доповнення елемента цього визначника, яке дорівнює добутку (-1) у степені суми номерів рядка та стовпця , на перетині яких стоїть цей елемент, на мінор цього елемента: .
Мінором елемента визначника -порядку, називається визначник порядку, який знаходиться викресленням рядка та стовпця, на перетині яких стоїть цей елемент.
Визначник позначається прямими дужками:
Приклад (розкриваємо по першому рядку)
Метод Лапласа знаходження визначників дозволяє легко доводити їх властивості.
Основні властивості:
Визначник дорівнює нулю, якщо будь-який рядок (стовпець)складається з одних нулів.
Добуток дійсного числа на визначник дорівнює визначнику, у якого кожний член одного з рядків (стовпців) помножається на це число.
Наслідок: Спільний множник будь-якого рядка (стовпця) можна винести за знак визначника.
Якщо поміняти місцями будь-які два рядки (стовпці) визначника, то він змінить свій знак на протилежний.
Визначник, який має два однакових рядка (стовпця), дорівнює нулю.
Якщо елементи двох рядків (стовпців) визначника пропорційні, то він дорівнює нулю.
Визначник, у якого кожний елемент рядка(стовпця) складається з двох доданків, дорівнює сумі двох визначників, у першому з яких рядок (стовпець)складається з перших доданків елементів означеного рядка (стовпця), а у другому – з других. Інші елементи цих визначників однакові і співпадають з елементами початкового визначника.
Визначник не змінюється, якщо до елементів будь-якого рядка (стовпця) додати елементи іншого рядка (стовпця) помножені на дійсне число.
І. Розв’язування вправ
1) Обчислити визначники:
а)
б)
в)
2) Обчислити визначник за правилом трикутників:
3) Обчислити визначник за правилом Саріуса:
4) Обчислити визначник, розклавши його за елементами 3-го рядка:
=
5) Спростити і обчислити визначники:
а)
б)
6) Розв’язати рівняння:
|
|
7) Обчислити визначник 4-го порядку:
=
Іі Завдання додому
1) Обчислити визначник, розклавши його за елементами І стовпця:
2) Використовуючи властивості, обчислити визначник:
3) Розв’язати рівняння:
4) Обчислити визначник 4-го порядку:
Відповіді:
-10
amn
-2; 0
-28
Практичне заняття № 2
Тема: Дії з матрицями
Мета: сформувати вміння та навики виконання дій з матрицями
Хід заняття
Матрицею розміром називають прямокутну таблицю елементів ; , яка має рядків та стовпців ( ; ; .
Матриця позначається круглими дужками.
Дії з матрицями
Матриці можна складати та віднімати тільки одного розміру:
Елементи складаються з відповідних елементів матриць та .
Матриці можна перемножити тільки, коли кількість стовпців першої матриці дорівнює кількості рядків другої матриці: .
Елементи матриці знаходяться за формулою:
; .
Добуток дійсного числа на матрицю дорівнює матриці, у якій кожний член помножається на це число. Спільний множник всіх членів можна виносити за знак матриці.
Властивості матриць
1. 5.
2. 6.
3. 7.
4.
Матрицю називають транспортованою щодо матриці , якщо в неї рядки і стовпці міняються місцями: = .
Приєднаною до матрицею називають матрицю, яка складається з алгебраїчних доповнень транспонованої до матриці. Її позначають як .
Матрицю називають оберненою щодо квадратної матриці , якщо вона задовольняє властивості , де - одинична матриця, у якої діагональні елементи дорівнюють одиниці, а інші – нулю. Обернену матрицю (для невироджених матриць знаходимо за формулою: