Лабораторная работа № 12
ИЗУЧЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ КОНТУРЕ
Цель работы: изучение вынужденных колебаний в электрическом контуре и определение параметров контура.
1. Теория
В ынужденными называются колебания, в процессе которых система подвергается внешнему периодически изменяющемуся воздействию. В конкретном случае электрического колебательного контура это означает, подключение к контуру внешней электродвижущей силы ε периодически изменяющейся со временем и создающей в контуре переменное электрическое напряжение (рис.1). Следовательно, уравнение Кирхгофа (закон Ома для неоднородного участка цепи) с учетом внешней ЭДС ε и ЭДС самоиндукции имеет вид (см. лаб. работу 12а):
(1)
где ток , напряжение , q - заряд на обкладках конденсатора, t - время, С - емкость конденсатора, R. - сопротивление, L - индуктивность контура. Разделив (1) на L, получаем:
(2) С учетом обозначений собственная частота колебаний перепишем (2) в виде:
(3)
Рассмотрим колебательный процесс в контуре, к которому подключена внешняя ЭДС , зависящая от времени по гармоническому закону:
(4)
на основе решения полного уравнения (3) с учетом (4). Частное решение этого уравнения имеет вид
(5)
где
;
Общее решение (3) получится, если к данному частному решению прибавить общее решение соответствующего однородного уравнения (т.е. уравнения (3) с нулевой правой частью). Это решение получено в лабораторной работе N 12а и содержит экспоненциальный множитель , поэтому с течением времени это слагаемое становится очень малым и им можно пренебречь. Следовательно, установившиеся вынужденные колебания описываются функцией (5). Напряжение на конденсаторе равно
(6)
т.е. вынужденные колебания происходят с частотой равной частоте внешней ЭДС, а амплитуда колебаний зависит от этой частоты. Резонансная частота wpqдля заряда q и напряжения на конденсаторе U ( wpu ) находится из минимум* выражения, стоящего под корнем в знаменателе для qm и равна:
(7)
Резонансные кривые для U изображены на рис 2а. При W→0 кривые сходятся в одной точке с ординатой Um , равной напряжению, возникающему на конденсаторе при подключении его к источнику постоянного напряжения Um . Макcимум при резонансе получается тем выше и острее, чем меньше , т. е. Чем меньше активное сопротивление R и больше индуктивность L контура.
Собственно резонансом называется резкое возрастание амплитуды колебаний при совпадении частоты внешнего генератора с собственной частотой колебаний в контуре.
График зависимости амплитуды колебаний от частоты внешней ЭДС называют резонансной кривой. Пик на резонансной кривой, соответствующий частоте wp , указывает на наступление резонанса. Величина активного сопротивления контура К. определяет максимальное значение тока в контуре при наступлении резонанса. На графике это проявляется в изменении высоты и остроты "пика" на резонансной кривой. Конкретный вид резонансной кривой, т. е. зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты внешней ЭДО, определяет как быстро в контуре происходит затухание колебаний, имеющих частоту, отличающуюся от резонансной. Сила тока в контуре при установившихся колебаниях равна (8) где - амплитуда тока, а
выражение - называется полным электрическим сопротивлением или импедансом. Максимальное значение амплитуды тока достигается при условии . Следовательно, резонансная частота для силы тока wpi совпадает с собственной частотой контура w0:
(9)
Отрезок, отсекаемый резонансными кривыми на оси Im , равен нулю (при w=О , Im=Ο ), поскольку при постоянном напряжении установившийся ток в цепи с конденсатором течь не может. Резонансные кривые для силы тока изображены на рис. 26. Чем уме резонансная кривая, тем выше избирательность колебательного контура, т. е. способность контура выделить определенную частоту из многих сигналов различной частоты. Избирательность контура принято характеризовать полосой пропускания. Под полосой пропускания контура понимает ширину резонансной кривой, выраженную в Герцах и определенную по уровню 0,7 от максимальной амплитуды колебаний (см. рис.2). Следует отметить, что добротность контура может быть определена по виду резонансной кривой по формуле:
(10)
где wр - резонансная частота, 2Δω - полоса пропускания контура.