Федеральное агентство по образованию Российской Федерации
Филиал «СЕВМАШВТУЗ» государственного образовательного
учреждения высшего профессионального образования «Санкт-
Петербургский государственный морской технический
университет» в г. Северодвинске
Курзанова Е.В.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Методические указания к выполнению расчетно-графической работы по динамике материальной точки
Северодвинск
2008
УДК 531
Теоретическая механика. Методические указания к выполнению расчетно-графической работы по динамике «Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием постоянных сил» /Сост. Е.В.Курзанова
Северодвинск: РИО Севмашвтуза, 2008 - с.
Методические указания предназначены для студентов всех специальностей, изучающих курс «Теоретическая механика».
Методические указания по теоретической механике, раздел «Динамика», разработаны для выполнения расчетно-графической работы по теме: «Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием постоянных сил». Указания содержат план решения расчетно-графической работы, расчетные схемы, варианты заданий, пример решения.
Рецензенты:
доцент кафедры № 3, к.т.н. Д.В.Кузьмин,
ст. преподаватель кафедры № 3 Л.А.Ковалев.
Печатается по решению редакционно-издательского совета Севмашвтуза.
© Севмашвтуз, 2008
Содержание
Предисловие…………………………………………………………………….4
1. Задание……………………..………………………………………………….5
2. План выполнения работы……………………………………………….…5
3. Расчетные схемы и варианты задания…………………………..……….7
4. Примеры выполнения работы……………………………………………..11
5. Вопросы для защиты расчетно-графической работы…….…………….22
6. Список литературы……………………………………………………….…23
ПРЕДИСЛОВИЕ
Методические указания к выполнению расчетно-графической работы по динамике материальной точки содержат план выполнения работы, расчетные схемы и варианты заданий, примеры решения, вопросы для защиты.
Целью методических указаний является оказание помощи студентам при решении работы и проверка качества знаний при защите работы.
1. Задание.
Необходимо найти неизвестные с помощью интегрирования дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием постоянных сил.
2. План выполнения работы.
2.1. Записать исходные данные (выбрать согласно порядковому номеру в журнале).
2.2. Вычертить расчетную схему. Формой и размерами движущегося тела можно пренебречь, приняв его за материальную точку.
2.3. Изобразить действующие на материальную точку активные силы – силу тяжести ; силу , если она дана; силы реакции связей (сила - нормальная реакция опорной поверхности, сила трения , направленная в сторону, противоположную движению).
2.4. Разделить задачу на две части:
движение точки в системе координат , время движения по участку обозначается ;
движение точки в системе координат , время движения в данной системе обозначается Т (движение из точки В в точку С).
2.5. Записать второй основной закон Ньютона в векторной форме: или
Затем спроецировать на координатные оси.
В осях y1Ax1 уравнений будет два
Произведение массы на вторую производную от расстояния по времени (ускорение) равно сумме проекций всех действующих сил на соответствующую координатную ось.
Из уравнения (2) следует найти N – нормальную реакцию опорной поверхности. Так как , это значит, что сумма проекций всех действующих сил на ось Ay1 равна 0 (условие равновесия).
В случае движения по горизонтальной поверхности получится .
В случае движения по наклонной поверхности получится , где - угол наклона поверхности.
Исходных уравнений будет четыре:
(1)
(2)
(3) на ось Вх
(4) на ось Ву
2.6. Каждое из исходных уравнений необходимо разделить на массу (левую и правую часть). Дифференциальные уравнения необходимо дополнить начальными условиями и свести задачу динамики к решению математической задачи (к задаче Коши).
2.7. а) Рассмотрим движение точки на участке АВ. Записываем дифференциальные уравнения (1) и (2) и начальные условия. Получаем математическую задачу. Интегрируем дифференциальные уравнения и определяем константы интегрирования. Получаем выражение для скорости и расстояние
б) Подставляем и получаем 2 алгебраических уравнения. Эти уравнения позволяют найти две неизвестные.
в) Рассматриваем движение на участке ВС. Записываем дифференциальные уравнения (3) и (4) и начальные условия, интегрируем и получаем выражения для скорости и ; и расстояния и .
г) Подставляем и получаем четыре алгебраических уравнения для нахождения четырех неизвестных.
д) Постоянные интегрирования находим с помощью начальных условий. Все нечетные постоянные интегрирования будут равны проекциям начальных скоростей на соответствующие координатные оси:
- проекция скорости на ось Ах1
- проекция скорости на ось Вх
- проекция скорости на ось Ву
В случае совпадения оси Ах1 с осью Вх
Все четные постоянные интегрирования будут соответствовать началу координат и и будут равны 0
2.8. После определения постоянных интегрирования и получения:
уравнения, связывающего скорость в со скоростью в ,
уравнения для определения длины участка ,
уравнения для определения ширины участка ,
уравнения для определения высоты участка
можно приступить к вычислению своего варианта задания и к нахождению неизвестных.